Questão 32 da FUVEST 2005

Question

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, a área da região hachurada é

Quadrado ABCD de lado 1 contendo os arcos DEB e CEA que se cruzam no ponto E, com a região entre o segmento BC e os arcos EC e EB hachurada.

A
1 - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}
B
1 - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}
C
1 - \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}
D
1 + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}
E
1 - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 32 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1, DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1. Logo, a área da região hachurada é

Quadrado ABCD de lado 1 contendo os arcos DEB e CEA que se cruzam no ponto E, com a região entre o segmento BC e os arcos EC e EB hachurada.

A
1 - \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{4}
B
1 - \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}
C
1 - \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}
D
1 + \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}
E
1 - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{4}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

O arco DEB tem centro em A, pois AD=AB=1. Analogamente, o arco CEA tem centro em D, pois DC=DA=1.

Como E pertence às duas circunferências, AE=DE=1. Assim, o triângulo ADE é equilátero, com todos os ângulos iguais a 60^\circ e área

A_{ADE}=\frac{\sqrt{3}}{4}.

A região não hachurada pode ser dividida em três partes, sem sobreposição: o triângulo ADE e os setores circulares ABE e DCE.

Como os ângulos do quadrado medem 90^\circ, o ângulo central de cada um desses setores é 90^\circ-60^\circ=30^\circ. Cada setor corresponde, portanto, a \frac{30}{360} de um círculo de raio 1:

A_{\text{setor}}=\frac{30}{360}\cdot\pi\cdot1^2=\frac{\pi}{12}.

Para encontrar a área hachurada, subtraímos da área do quadrado a área do triângulo e as áreas dos dois setores:

A_{\text{hachurada}}=1-\frac{\sqrt{3}}{4}-2\cdot\frac{\pi}{12} =1-\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt{3}}{4}.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASoma a área do triângulo equilátero, quando ela deve ser subtraída da área do quadrado.
BDesconta uma área de \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}, que não corresponde à região não hachurada.
DAcrescenta \frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{2} à área do quadrado, obtendo inclusive uma área maior que 1.
EDesconta \frac{\pi}{3} pelos setores, o dobro da área que eles realmente ocupam.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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