Questão 31 da FUVEST 2005

Question

Sejam a e b números reais tais que:
(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
(ii) 2^a, 16 e 2^b formam, nessa ordem, uma PG.

Então o valor de a é

A
\dfrac{2}{3}
B
\dfrac{4}{3}
C
\dfrac{5}{3}
D
\dfrac{7}{3}
E
\dfrac{8}{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Progressão aritmética

Sejam a e b números reais tais que:
(i) a, b e a + b formam, nessa ordem, uma PA;
(ii) 2^a, 16 e 2^b formam, nessa ordem, uma PG.

Então o valor de a é

A
\dfrac{2}{3}
B
\dfrac{4}{3}
C
\dfrac{5}{3}
D
\dfrac{7}{3}
E
\dfrac{8}{3}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Condição (i): em uma PA de três termos, o termo do meio é a média dos extremos, então

2b = a + (a+b) \Rightarrow b = 2a.

Condição (ii): em uma PG de três termos, o quadrado do termo do meio é o produto dos extremos:

16^2 = 2^a \cdot 2^b \Rightarrow 2^8 = 2^{a+b}.

Como as bases são iguais, os expoentes são iguais: a + b = 8.

Resolvendo o sistema:

Da PA: b = 2a.
Substituindo em a+b=8: a + 2a = 8.
Então 3a = 8, logo a = \dfrac{8}{3}.

Conferindo: b = \dfrac{16}{3} e a+b = 8. A PA \dfrac{8}{3}, \dfrac{16}{3}, 8 tem razão \dfrac{8}{3}, ok. Na PG, 2^{8/3} \cdot 2^{16/3} = 2^8 = 16^2, ok.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o sistema; não satisfaz 3a=8.
BResultaria de a+b=4, erro ao usar 16 em vez de 16^2=2^8 na PG.
CNão decorre de b=2a e a+b=8; valor arbitrário.
DNão satisfaz 3a=8; seria resultado de erro de conta.

Assuntos: Progressão aritmética, Progressão geométrica.

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