Questão 30 da FUVEST 2005

Question

Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = \log_a x, com a > 1 (figura abaixo). Suponha que B = (x, 0), C = (x + 1, 0) e A = (x - 1, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é

Gráfico da função y = log_a(x) mostrando os pontos A, B e C sobre o eixo x, e os pontos E e D sobre a curva nos valores de x correspondentes a B e C, formando o triângulo retângulo ABE e o trapézio retângulo BCDE.

A
\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}
B
1 + \dfrac{\sqrt{5}}{2}
C
\dfrac{1}{2} + \sqrt{5}
D
1 + \sqrt{5}
E
\dfrac{1}{2} + 2\sqrt{5}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y = \log_a x, com a > 1 (figura abaixo). Suponha que B = (x, 0), C = (x + 1, 0) e A = (x - 1, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é

Gráfico da função y = log_a(x) mostrando os pontos A, B e C sobre o eixo x, e os pontos E e D sobre a curva nos valores de x correspondentes a B e C, formando o triângulo retângulo ABE e o trapézio retângulo BCDE.

A
\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{5}}{2}
B
1 + \dfrac{\sqrt{5}}{2}
C
\dfrac{1}{2} + \sqrt{5}
D
1 + \sqrt{5}
E
\dfrac{1}{2} + 2\sqrt{5}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os pontos E e D estão sobre a curva, acima de B e de C. Então E=(x,\log_a x) e D=(x+1,\log_a(x+1)).

Triângulo ABE: é retângulo em B, com base AB = x-(x-1)=1 e altura BE=\log_a x:

S_{ABE}=\frac{1\cdot\log_a x}{2}

Trapézio BCDE: as bases paralelas são BE=\log_a x e CD=\log_a(x+1), e a altura é BC=1:

S_{BCDE}=\frac{\log_a x+\log_a(x+1)}{2}

Condição do problema: S_{BCDE}=3\,S_{ABE}.

\dfrac{\log_a x+\log_a(x+1)}{2}=\dfrac{3\log_a x}{2}
\log_a(x+1)=2\log_a x
\log_a(x+1)=\log_a x^2
Como a>1, o logaritmo é injetor: x+1=x^2, ou seja, x^2-x-1=0.

Pela fórmula de Bhaskara: x=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}.

Como o logaritmo exige x>0, ficamos com x=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt5}{2}.

Conferindo: esse valor é cerca de 1{,}618, maior que 1, então \log_a x>0, coerente com a figura (E acima do eixo).

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BErra a resolução da equação x^2-x-1=0, somando 1 em vez de \frac12 ao termo \frac{\sqrt5}{2}.
CMistura \frac12 com \sqrt5 inteiro, esquecendo de dividir a raiz por 2 em Bhaskara.
DEsquece de dividir por 2 na fórmula de Bhaskara: 1+\sqrt5.
EValor sem relação com a equação obtida; não satisfaz x^2=x+1.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Equação do 2º grau, Áreas e perímetros de polígonos.

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