Questão 29 da FUVEST 2005

Question

A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura \text{EF} = 1. Sendo G o ponto médio da altura \overline{\text{EF}} e \alpha a medida do ângulo \text{A}\hat{\text{G}}\text{B}, então \cos\alpha vale

Pirâmide reta de vértice E e base quadrada ABCD, com a altura EF perpendicular à base no ponto central F (encontro das diagonais AC e BD). O ponto G é o ponto médio do segmento EF, com segmentos traçados de G até os vértices A e B, formando o ângulo alfa no vértice G.

A
\frac{1}{2}
B
\frac{1}{3}
C
\frac{1}{4}
D
\frac{1}{5}
E
\frac{1}{6}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura \text{EF} = 1. Sendo G o ponto médio da altura \overline{\text{EF}} e \alpha a medida do ângulo \text{A}\hat{\text{G}}\text{B}, então \cos\alpha vale

Pirâmide reta de vértice E e base quadrada ABCD, com a altura EF perpendicular à base no ponto central F (encontro das diagonais AC e BD). O ponto G é o ponto médio do segmento EF, com segmentos traçados de G até os vértices A e B, formando o ângulo alfa no vértice G.

A
\frac{1}{2}
B
\frac{1}{3}
C
\frac{1}{4}
D
\frac{1}{5}
E
\frac{1}{6}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A ideia é achar os três lados do triângulo AGB e aplicar a lei dos cossenos.

F é o centro do quadrado de lado 1, então AF = BF = \frac{\text{diagonal}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Como EF = 1 e G é o ponto médio de EF, GF = \frac{1}{2}. A altura EF é perpendicular à base, então o triângulo GFA é retângulo em F.

Lado GA, por Pitágoras:

GA^2 = GF^2 + AF^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}
Do mesmo modo, GB^2 = \frac{3}{4}.
O lado AB da base vale 1, então AB^2 = 1.

Lei dos cossenos no triângulo AGB, com o ângulo \alpha em G:

AB^2 = GA^2 + GB^2 - 2\cdot GA\cdot GB\cos\alpha

1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 2\cdot\frac{3}{4}\cos\alpha

1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos\alpha

\frac{3}{2}\cos\alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow \cos\alpha = \frac{1}{3}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AResultado que ignora a altura de G; não decorre da lei dos cossenos com GA² = 3/4.
CErro de conta ao isolar o cosseno, sem correspondência com os lados corretos.
DProvável uso de GA² incorreto (por exemplo, GF = 1 ou AF = 1/2), alterando os lados.
EErro algébrico no isolamento de cosα; não confere com os valores corretos.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Lei dos senos e lei dos cossenos.

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