Questão 28 da FUVEST 2005

Question

A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é

A
5\sqrt{3}
B
6\sqrt{3}
C
7\sqrt{3}
D
8\sqrt{3}
E
9\sqrt{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é

A
5\sqrt{3}
B
6\sqrt{3}
C
7\sqrt{3}
D
8\sqrt{3}
E
9\sqrt{3}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Use o teorema de Viviani: em um triângulo equilátero, a soma das distâncias de qualquer ponto interior aos três lados é constante e igual à altura do triângulo.

Por que isso vale? Sendo P o ponto, d_1, d_2, d_3 as distâncias aos lados e \ell o lado, dividimos o triângulo em três triângulos com vértice em P e bases iguais a \ell:

\frac{\ell d_1}{2}+\frac{\ell d_2}{2}+\frac{\ell d_3}{2}=\frac{\ell h}{2}\ \Rightarrow\ d_1+d_2+d_3=h

Logo, h = 9.

A altura de um triângulo equilátero de lado \ell é h=\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}. Então:

\dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}=9
\ell\sqrt{3}=18
\ell=\dfrac{18}{\sqrt{3}}=\dfrac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com h=\ell\sqrt{3}/2; não resulta de nenhuma conta correta.
CValor sem relação com a altura 9; não resulta da fórmula correta.
DErro de conta ao isolar \ell; não satisfaz \ell\sqrt{3}/2=9.
EConfunde a altura com o lado ou erra a racionalização, dando 9\sqrt{3} em vez de 6\sqrt{3}.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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