Questão 27 da FUVEST 2005

Question

Participam de um torneio de voleibol, 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada.

Na 1^a fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2^a fase.

Na 2^a fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é

A
39
B
41
C
43
D
45
E
47

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 27 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Participam de um torneio de voleibol, 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times cada.

Na 1^a fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2^a fase.

Na 2^a fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é

A
39
B
41
C
43
D
45
E
47

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Vamos contar os jogos de cada fase separadamente e somar.

1ª fase. Em cada chave, os 5 times se enfrentam uma única vez, todos contra todos. O número de jogos é o de pares de times:

\binom{5}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10

Como são 4 chaves: 4\cdot 10=40 jogos.

2ª fase. Passam 2 times de cada chave, ou seja, 4\cdot 2=8 times. Os jogos são eliminatórios: a cada partida, um time perde e sai do torneio. Para sobrar apenas o campeão, 7 dos 8 times precisam ser eliminados. Logo, são 7 jogos (4 nas quartas, 2 nas semifinais e 1 na final: 4+2+1=7).

Total:

1ª fase: 40 jogos
2ª fase: 7 jogos
Soma: 40+7=47 jogos

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai em vez de somar ou erra a contagem, chegando a 39; não corresponde a 40 + 7.
BNão corresponde a nenhuma contagem correta; resulta de erro na soma das fases.
CNúmero sem base na contagem: 40 jogos da 1ª fase mais 3 não representa a 2ª fase.
DConsidera apenas 5 jogos na 2ª fase, em vez de 7 eliminações de 8 times.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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