Questão 25 da FUVEST 2005

Question

Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = \sqrt{3} e BE = 2DE. Logo, a medida de \overline{AE} é

Triângulo ABC, com A à esquerda e B à direita na base horizontal AB, e C acima de B no segmento vertical BC. O ponto D pertence ao lado AC, e o ponto E pertence ao lado BC. O segmento DE é perpendicular a AC, com marca de ângulo reto em D. Há também marca de ângulo reto em B. O segmento AE está tracejado.

A
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
B
\dfrac{\sqrt{5}}{2}
C
\dfrac{\sqrt{7}}{2}
D
\dfrac{\sqrt{11}}{2}
E
\dfrac{\sqrt{13}}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 25 da FUVEST 2005

1ª fase · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB = 1, BC = \sqrt{3} e BE = 2DE. Logo, a medida de \overline{AE} é

Triângulo ABC, com A à esquerda e B à direita na base horizontal AB, e C acima de B no segmento vertical BC. O ponto D pertence ao lado AC, e o ponto E pertence ao lado BC. O segmento DE é perpendicular a AC, com marca de ângulo reto em D. Há também marca de ângulo reto em B. O segmento AE está tracejado.

A
\dfrac{\sqrt{3}}{2}
B
\dfrac{\sqrt{5}}{2}
C
\dfrac{\sqrt{7}}{2}
D
\dfrac{\sqrt{11}}{2}
E
\dfrac{\sqrt{13}}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Triângulo ABC: retângulo em B, com AB=1 e BC=\sqrt{3}. Pelo teorema de Pitágoras, AC^2 = 1 + 3 = 4, logo AC=2. Então \tg C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}, ou seja, C=30^\circ.

Triângulo CDE: retângulo em D, com o ângulo C=30^\circ (o mesmo de ABC). Assim, o cateto DE é oposto a 30^\circ e vale metade da hipotenusa: DE = \dfrac{CE}{2}, ou seja, CE = 2\,DE.

Usamos agora a condição BE = 2DE. Chamando DE = x: BE = 2x e CE = 2x.

Como E está em BC:

BE + EC = BC
2x + 2x = \sqrt{3}
x = \dfrac{\sqrt{3}}{4}

Logo BE = 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.

No triângulo ABE, retângulo em B:

AE^2 = AB^2 + BE^2 = 1 + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}

AE = \dfrac{\sqrt{7}}{2}

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AEsse valor é o de BE; faltou calcular AE pelo teorema de Pitágoras com AB = 1.
BResulta de um valor errado de BE, sem usar CE = 2DE e BE + EC = BC.
DVem de AE^2 = 11/4, que não corresponde a 1 + BE^2 com BE=\sqrt{3}/2.
EVem de AE^2 = 13/4, que não corresponde a 1 + BE^2 com BE=\sqrt{3}/2.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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