Questão 24 da FUVEST 2005

Como \alpha e \beta são os ângulos agudos de um triângulo retângulo, eles são complementares: \alpha + \beta = \frac{\pi}{2}. Logo, \sen\beta = \cos\alpha.

Se x = 1 é raiz, ela satisfaz a equação. Substituindo:

1. \cos^2\alpha - 4\cos\alpha\,\sen\beta + \frac{3}{2}\sen\beta = 0
2. Trocando \sen\beta por \cos\alpha: \cos^2\alpha - 4\cos^2\alpha + \frac{3}{2}\cos\alpha = 0
3. Simplificando: -3\cos^2\alpha + \frac{3}{2}\cos\alpha = 0
4. Fatorando: 3\cos\alpha\left(-\cos\alpha + \frac{1}{2}\right) = 0

Como \alpha é agudo, \cos\alpha \neq 0. Então \cos\alpha = \frac{1}{2}, ou seja, \alpha = \frac{\pi}{3}.

Como \beta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6}.

Conferindo: \cos\alpha = \sen\beta = \frac12; a equação fica \frac14 - 4\cdot\frac14 + \frac32\cdot\frac12 = \frac14 - 1 + \frac34 = 0. ✓

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AOs ângulos \frac{\pi}{8} e \frac{3\pi}{8} somam \frac{\pi}{2}, mas \cos\frac{\pi}{8}\neq\frac12, então x=1 não seria raiz.
• BInverte os valores: com \alpha=\frac{\pi}{6}, \cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\neq\frac12.
• CCom \alpha=\beta=\frac{\pi}{4}, \cos\alpha=\frac{\sqrt2}{2}, que não anula a equação.
• EOs ângulos são complementares, mas \cos\frac{3\pi}{8}\neq\frac12, então não satisfaz a equação.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Equação do 2º grau.

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