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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 31 da FUVEST 2004

1ª fase · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta \overline{\text{AB}} e V é o ponto médio da aresta \overline{\text{EC}}, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:

Pirâmide de base ABCD e vértice E, com o ponto M sobre a aresta AB e o ponto V sobre a aresta EC.

  1. A
    1
  2. B
    1,5
  3. C
    2
  4. D
    2,5
  5. E
    3
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Resolução comentada

O volume de uma pirâmide é V=\frac{1}{3}\cdot A_{base}\cdot h. Vamos comparar a pirâmide dada com a nova.

  1. Seja S a área do retângulo ABCD e H a altura de E em relação à base. Então \frac{1}{3}\cdot S\cdot H = 4.

  2. A nova base é o quadrilátero AMCD, um trapézio de bases AM=\frac{AB}{2} e DC=AB, com altura AD. Sua área é:

    A_{AMCD}=\frac{\left(\frac{AB}{2}+AB\right)\cdot AD}{2}=\frac{3}{4}\,AB\cdot AD=\frac{3}{4}S

  3. O vértice V é ponto médio de EC, e C está no plano da base. Logo a altura de V em relação à base é a metade de H, ou seja, \frac{H}{2}.

  4. Volume da nova pirâmide:

    V' = \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{4}S\cdot\frac{H}{2}=\frac{3}{8}\cdot\frac{S\,H}{3}=\frac{3}{8}\cdot 4=1{,}5

A nova pirâmide tem \frac{3}{8} do volume da original, isto é, 1{,}5.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa só a metade da altura e a metade da área da base (1/4 do volume), esquecendo que AMCD é um trapézio com 3/4 da área.
  • CConsidera apenas a altura reduzida à metade, mantendo a área da base igual à do retângulo.
  • DNão corresponde a nenhuma razão correta entre as áreas e as alturas; valor sem fundamento.
  • EUsa 3/4 da área da base e ignora que a altura de V é a metade de H.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: FUVEST 2004. Prova oficial ↗