Questão 32 da FUVEST 2004

Cada um dos 4 trabalhos vai para uma só empresa, e as 3 empresas precisam receber pelo menos um trabalho. Ou seja, contamos as funções sobrejetoras do conjunto de 4 trabalhos no conjunto de 3 empresas.

Como são 4 trabalhos e 3 empresas, a distribuição só pode ser 2+1+1: uma empresa fica com 2 trabalhos e as outras duas com 1 cada.

1. Escolher quais 2 trabalhos ficam juntos: \binom{4}{2}=6 maneiras.
2. Agora temos 3 "blocos" (o par e os 2 trabalhos isolados), que são distintos entre si.
3. Distribuir os 3 blocos entre as 3 empresas, um para cada: 3!=6 maneiras.

Total: 6\cdot 6=36.

Conferindo por exclusão: todas as distribuições possíveis são 3^4=81. Subtraímos as que deixam alguma empresa de fora: 3\cdot 2^4=48, e somamos de volta as que deixam duas de fora, contadas duas vezes: 3\cdot 1^4=3. Então 81-48+3=36.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AConta só a escolha do par de trabalhos (ou algo parecido), sem distribuir os blocos entre as empresas.
• BNão corresponde a nenhuma contagem correta; resulta de multiplicar fatores errados, como 3·6.
• DDobra o resultado correto, contando a ordem dos trabalhos dentro do par como se importasse.
• EValor sem base na contagem; não respeita a exigência de que cada empresa receba ao menos um trabalho.

Assunto: Princípio fundamental da contagem.

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