Questão 30 da FUVEST 2004

Question

Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado ao lado.

Esquema ilustrando a confecção dos barris a partir de chapas retangulares: no barril do tipo A, a chapa de altura a e comprimento 2a é enrolada para formar um cilindro de altura a; no barril do tipo B, a chapa de altura 2a e comprimento a forma um cilindro de altura 2a.

Se V_{\text{A}} e V_{\text{B}} indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se:

A
V_{\text{A}} = 2V_{\text{B}}
B
V_{\text{B}} = 2V_{\text{A}}
C
V_{\text{A}} = V_{\text{B}}
D
V_{\text{A}} = 4V_{\text{B}}
E
V_{\text{B}} = 4V_{\text{A}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 30 da FUVEST 2004

1ª fase · Matemática: Cilindro

Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas, conforme ilustrado ao lado.

Esquema ilustrando a confecção dos barris a partir de chapas retangulares: no barril do tipo A, a chapa de altura a e comprimento 2a é enrolada para formar um cilindro de altura a; no barril do tipo B, a chapa de altura 2a e comprimento a forma um cilindro de altura 2a.

Se V_{\text{A}} e V_{\text{B}} indicam os volumes dos barris do tipo A e B, respectivamente, tem-se:

A
V_{\text{A}} = 2V_{\text{B}}
B
V_{\text{B}} = 2V_{\text{A}}
C
V_{\text{A}} = V_{\text{B}}
D
V_{\text{A}} = 4V_{\text{B}}
E
V_{\text{B}} = 4V_{\text{A}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A chapa vira a superfície lateral do cilindro. O lado que é enrolado vira o comprimento da circunferência da base, 2\pi r, e o outro lado vira a altura h. O volume é V = \pi r^2 h.

Barril A: altura h = a e circunferência 2a.

2\pi r_A = 2a \Rightarrow r_A = \dfrac{a}{\pi}
V_A = \pi \left(\dfrac{a}{\pi}\right)^2 \cdot a = \dfrac{a^3}{\pi}

Barril B: altura h = 2a e circunferência a.

2\pi r_B = a \Rightarrow r_B = \dfrac{a}{2\pi}
V_B = \pi \left(\dfrac{a}{2\pi}\right)^2 \cdot 2a = \pi \cdot \dfrac{a^2}{4\pi^2}\cdot 2a = \dfrac{a^3}{2\pi}

Comparação:

\frac{V_A}{V_B} = \frac{a^3/\pi}{a^3/(2\pi)} = 2

Logo V_A = 2V_B.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana quem olha só a altura e acha que o barril mais alto tem mais volume; o raio, que entra ao quadrado, pesa mais.

Por que as outras alternativas estão erradas

Binverte a relação, achando que o barril mais alto (B) tem o maior volume, esquecendo que o raio dele é menor.
Csupõe que a mesma área de chapa gera o mesmo volume, mas o raio entra elevado ao quadrado.
Dexagera o efeito do raio (fator 4 no r^2) sem compensar com a altura, que é metade em A.
Einverte a relação e usa fator 4, ignorando que o raio de B é metade do de A e a altura dobra.

Assuntos: Cilindro, Círculo: comprimento, arcos e áreas.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: FUVEST 2004. Prova oficial ↗