Questão 29 da FUVEST 2004

Question

Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto \text{P} = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

Plano cartesiano com eixos x e y contendo o quadrilátero ABCD, com vértices D = (0, 1), A = (1, 0), B = (5, 0) e C = (2, 3)

A
\sqrt{5} - 1
B
5 - 2\sqrt{2}
C
5 - \sqrt{2}
D
2 + \sqrt{5}
E
5 + 2\sqrt{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 29 da FUVEST 2004

1ª fase · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Duas irmãs receberam como herança um terreno na forma do quadrilátero ABCD, representado abaixo em um sistema de coordenadas. Elas pretendem dividi-lo, construindo uma cerca reta perpendicular ao lado AB e passando pelo ponto \text{P} = (a, 0). O valor de a para que se obtenham dois lotes de mesma área é:

Plano cartesiano com eixos x e y contendo o quadrilátero ABCD, com vértices D = (0, 1), A = (1, 0), B = (5, 0) e C = (2, 3)

A
\sqrt{5} - 1
B
5 - 2\sqrt{2}
C
5 - \sqrt{2}
D
2 + \sqrt{5}
E
5 + 2\sqrt{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os vértices são D = (0,1), A = (1,0), B = (5,0) e C = (2,3). A cerca é perpendicular a AB, que está no eixo x, então é a reta vertical x = a.

Área total (fórmula do cordão, na ordem A, B, C, D):

S=\frac12\left|(1\cdot0-5\cdot0)+(5\cdot3-2\cdot0)+(2\cdot1-0\cdot3)+(0\cdot0-1\cdot1)\right|=\frac12(0+15+2-1)=8

Cada lote deve ter área 4.

Reta BC: passa por (5,0) e (2,3), com coeficiente angular -1, logo y = 5 - x.

A cerca deve cortar BC, pois o lote do lado de B é um triângulo retângulo. Para 2 \le a \le 5, o corte vertical em x=a forma o triângulo PBQ, com Q = (a, 5−a) sobre BC. Os catetos são PB = 5-a e PQ = 5-a.

Área do triângulo: \dfrac{(5-a)^2}{2}.
Igualando a 4: (5-a)^2 = 8.
Então 5-a = 2\sqrt2, ou seja, a = 5 - 2\sqrt2 \approx 2{,}17.

Esse valor está em [2,5], então a hipótese vale. Conferindo: o triângulo ficaria com área 4, metade de 8.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor ≈ 1,24 fica antes de x = 2, e não resulta de igualar a área do triângulo a 4.
CDaria (5−a)² = 2, ou seja, triângulo de área 1, não 4.
DValor ≈ 4,24, deixaria só um triângulo pequeno junto de B, com área bem menor que 4.
EValor ≈ 9,83 está fora do terreno, além de B.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: FUVEST 2004. Prova oficial ↗