Questão 28 da FUVEST 2004

Question

Uma matriz real A é ortogonal se AA^t = I, onde I indica a matriz identidade e A^t indica a transposta de A. Se A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end{bmatrix} é ortogonal, então x^2 + y^2 é igual a:

A
\frac{1}{4}
B
\frac{\sqrt{3}}{4}
C
\frac{1}{2}
D
\frac{\sqrt{3}}{2}
E
\frac{3}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 28 da FUVEST 2004

1ª fase · Matemática: Matrizes e determinantes

Uma matriz real A é ortogonal se AA^t = I, onde I indica a matriz identidade e A^t indica a transposta de A. Se A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end{bmatrix} é ortogonal, então x^2 + y^2 é igual a:

A
\frac{1}{4}
B
\frac{\sqrt{3}}{4}
C
\frac{1}{2}
D
\frac{\sqrt{3}}{2}
E
\frac{3}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Uma matriz é ortogonal quando AA^t = I. Isso significa que as linhas de A têm módulo 1 e são perpendiculares entre si.

Com A = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & x \\ y & z \end{bmatrix}, temos A^t = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & y \\ x & z \end{bmatrix}.

Calcule o produto:

AA^t = \begin{bmatrix} \frac14 + x^2 & \frac{y}{2} + xz \\ \frac{y}{2} + xz & y^2 + z^2 \end{bmatrix}
Iguale à identidade. Da posição (1,1): \frac14 + x^2 = 1, logo x^2 = \frac34.
Da posição (2,2): y^2 + z^2 = 1.
Da posição (1,2): \frac{y}{2} + xz = 0, logo y = -2xz e y^2 = 4x^2z^2 = 3z^2.
Substitua em y^2 + z^2 = 1: 3z^2 + z^2 = 1, então z^2 = \frac14 e y^2 = \frac34\cdot... conferindo: y^2 = 3z^2 = \frac34.
Some: x^2 + y^2 = \frac34 + \frac34 = \frac32.

Outro caminho: como A^tA = I também vale, as colunas têm módulo 1, e a primeira coluna dá \frac14 + y^2 = 1, ou seja, y^2 = \frac34, o mesmo resultado.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa só o termo \frac12 elevado ao quadrado, sem obter x^2 e y^2 pelas condições de ortogonalidade.
BValor sem relação com as equações; confunde x^2 com \frac{\sqrt3}{2} e erra a soma.
CNão sai das equações; seria o valor se apenas um dos termos fosse \frac14 e outro \frac14.
DToma x (e não x^2) como \frac{\sqrt3}{2} e ignora y.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: FUVEST 2004. Prova oficial ↗