Questão 26 da FUVEST 2004

A parte inteira de r é o número de dois algarismos a_1a_2 = 10a_1 + a_2. As condições dão:

1. Parte inteira é o quádruplo de a_3: 10a_1 + a_2 = 4a_3.
2. P.A.: a_2 é a média de a_1 e a_3, ou seja, a_1 + a_3 = 2a_2.
3. a_2 é múltiplo de 3: a_2 \in \{0,3,6,9\}.

Como 10a_1 + a_2 \ge 10 e a_3 \le 9, temos 4a_3 \le 36, então a parte inteira vai de 10 a 36 e a_1 \in \{1,2,3\}. Além disso, 4a_3 é múltiplo de 4, e a_3\ge 3.

Da P.A., a_3 = 2a_2 - a_1. Substituindo na primeira equação:

Como a_2 é divisível por 3 e a_1 \in \{1,2,3\}, então a_2 \in \{2,4,6\}, e só a_2 = 6 serve, com a_1 = 3.

Então a_3 = 2\cdot 6 - 3 = 9.

Conferindo: r = 36{,}9, parte inteira 36 = 4\cdot 9, e 3, 6, 9 estão em P.A. de razão 3.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ACom a_3=1 a parte inteira seria 4, que não tem dois algarismos.
• BCom a_3=3 a parte inteira seria 12, e a P.A. exigiria a_2=1{,}5, não inteiro.
• CCom a_3=4 a parte inteira seria 16, e a P.A. daria a_2=2{,}5, não inteiro.
• DCom a_3=6 a parte inteira seria 24, e a P.A. daria a_2=3, mas a_2=2a_1=4 não é 3.

Assuntos: Progressão aritmética, Divisibilidade, MMC e MDC.

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