Questão 27 da FUVEST 2004

Para resolver, vamos deixar todos os logaritmos na mesma base.

1. Mudança de base: \log_4 x = \dfrac{\log_2 x}{\log_2 4} = \dfrac{1}{2}\log_2 x = \log_2 \sqrt{x}.

2. A equação vira \log_2(x-2) - \log_2\sqrt{x} = 1.

3. Pela propriedade do quociente: \log_2\dfrac{x-2}{\sqrt{x}} = 1, ou seja, \dfrac{x-2}{\sqrt{x}} = 2.

4. Então x - 2 = 2\sqrt{x}. Fazendo t = \sqrt{x} (com t>0): t^2 - 2t - 2 = 0.

5. Por Bhaskara: t = \dfrac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}. Como t>0, fica t = 1+\sqrt{3}.

6. Logo x = t^2 = (1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}.

Conferência: x \approx 7{,}46 > 2, condição satisfeita. Além disso, x-2 \approx 5{,}46 e 2\sqrt{x} \approx 2\cdot 2{,}73 = 5{,}46, o que confere.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor 4-2\sqrt{3}\approx 0{,}54 é menor que 2, violando a condição x>2 (vem da raiz negativa de t elevada ao quadrado).
• B4-\sqrt{3}\approx 2{,}27 não satisfaz a equação; não resulta de nenhum passo correto.
• C2+2\sqrt{3} é o valor de x-2=2\sqrt{x} mal resolvido, esquecendo de elevar t=1+\sqrt{3} ao quadrado.
• E2+4\sqrt{3} não satisfaz a equação; resulta de erro ao desenvolver o quadrado.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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