Questão 25 da FUVEST 2004

Vamos descobrir as características do gráfico de f(x) = 1 - 2^{-|x|}.

1. Simetria: como |-x| = |x|, temos f(-x) = f(x). A função é par, então o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Isso elimina (A), que é ímpar, e (B), que é assimétrico.

2. Valor em x=0: f(0) = 1 - 2^{0} = 1 - 1 = 0. O gráfico passa pela origem, o que elimina (D), que tem valor 1 em x=0.

3. Comportamento para x grande: quando |x| cresce, 2^{-|x|} = \frac{1}{2^{|x|}} tende a 0. Logo f(x) tende a 1 - 0 = 1, e a reta y=1 é assíntota horizontal. O gráfico nunca ultrapassa 1, pois 2^{-|x|} > 0. Isso elimina (E), cuja assíntota é y=2.

4. Formato: para x \geq 0, f(x) = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^x é crescente, com f(1) = \frac{1}{2} e f(2) = \frac{3}{4}. Em x=0 há uma "bico" (ponta), pois a inclinação à direita é positiva e à esquerda, negativa. O gráfico tem forma de "V" arredondado, subindo e se aproximando de y=1 dos dois lados.

Essas características são as do gráfico da alternativa C.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece o '1 −' e desenha apenas 2^{-|x|}, que tem pico em 1 na origem.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AMostra uma função ímpar com assíntotas em 1 e -1, mas f é par e não negativa.
• BNão é simétrico: à esquerda cresce sem limite, enquanto f é par.
• DTem valor 1 em x=0 e tende a 0; é o gráfico de 2^{-|x|}, sem o 1-.
• ETem assíntota em y=2, mas f(x) tende a 1.

Assuntos: Função exponencial, Função modular.

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