Questão 59 (2º exame) da FUVEST 2002

Question

A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado \ell e que M é o ponto médio do segmento \overline{\text{AB}}. Se a medida do ângulo \text{V}\hat{\text{M}}\text{C} é 60^\circ, então o volume da pirâmide é:

Pirâmide de base triangular ABC e vértice V, com o ponto M sobre a aresta AB e linhas ligando M a V e M a C formando um ângulo de 60 graus.

A
\dfrac{\sqrt{3}}{4} \ell^3
B
\dfrac{\sqrt{3}}{8} \ell^3
C
\dfrac{\sqrt{3}}{12} \ell^3
D
\dfrac{\sqrt{3}}{16} \ell^3
E
\dfrac{\sqrt{3}}{18} \ell^3

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 59 (2º exame) da FUVEST 2002

2º exame · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

A figura abaixo representa uma pirâmide de base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos equiláteros de lado \ell e que M é o ponto médio do segmento \overline{\text{AB}}. Se a medida do ângulo \text{V}\hat{\text{M}}\text{C} é 60^\circ, então o volume da pirâmide é:

Pirâmide de base triangular ABC e vértice V, com o ponto M sobre a aresta AB e linhas ligando M a V e M a C formando um ângulo de 60 graus.

A
\dfrac{\sqrt{3}}{4} \ell^3
B
\dfrac{\sqrt{3}}{8} \ell^3
C
\dfrac{\sqrt{3}}{12} \ell^3
D
\dfrac{\sqrt{3}}{16} \ell^3
E
\dfrac{\sqrt{3}}{18} \ell^3

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Como ABC e ABV são equiláteros de lado \ell e M é ponto médio de AB, tanto VM quanto CM são alturas desses triângulos e ficam perpendiculares a AB. Logo, VM = CM = \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}, e o ângulo V\hat{M}C = 60^\circ é o ângulo entre os planos ABV e ABC.

Como AB é perpendicular a MV e a MC, AB é perpendicular ao plano VMC. Então o plano VMC é perpendicular à base, e a altura da pirâmide é a distância de V à reta MC.

O triângulo VMC tem VM = CM e ângulo de 60^\circ entre eles, então é equilátero, com lado \dfrac{\ell\sqrt{3}}{2}.
A altura h da pirâmide é a altura desse triângulo equilátero:

h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\ell}{4}
A área da base (triângulo equilátero de lado \ell) é:

A_b = \frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}
O volume é:

V = \frac{1}{3}A_b\,h = \frac{1}{3}\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{3\ell}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16}\ell^3

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor muito grande; não corresponde à altura 3\ell/4 com o fator 1/3 aplicado corretamente.
BResulta de usar altura \ell/2 em vez de 3\ell/4.
CSeria o volume com altura \ell/3; ignora que a altura é a do triângulo equilátero VMC.
EValor sem relação com a altura correta; erro de conta na altura ou no fator 1/3.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: FUVEST 2002 · 2º exame. Prova oficial ↗