Questão 58 (2º exame) da FUVEST 2002

Comece pela segunda equação, fatorando: y^3 - \frac{1}{2}xy^2 = y^2\left(y - \frac{x}{2}\right) = 0. Logo y = 0 ou y = \frac{x}{2}.

Na primeira equação, escreva tudo na base 2: 4^y = 2^{2y}, então 2^x\cdot 4^y = 2^{x+2y} = \frac{3}{4}.

Primeiro caso, y = 0:

1. 2^x = \frac{3}{4}
2. x = \log_2 \frac{3}{4} = \log_2 3 - 2, ou seja, x = -2 + \log_2 3.

Segundo caso, y = \frac{x}{2}:

1. x + 2y = x + x = 2x, então 2^{2x} = \frac{3}{4}.
2. 2x = \log_2 3 - 2.
3. x = \frac{\log_2 3}{2} - 1, ou seja, x = -1 + \frac{\log_2 3}{2}.

As duas soluções possíveis para x são -2 + \log_2 3 e -1 + \frac{\log_2 3}{2}, o que corresponde à alternativa E.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AOs valores x=0 e x=-2-\log_2 3 não satisfazem 2^x\cdot4^y=3/4 em nenhum dos casos.
• BResultados positivos que não resolvem 2^{x+2y}=3/4, pois esse produto é menor que 1.
• Cx=2 daria 2^x\ge 4; só o segundo valor lembra o caso y=0, mas com o sinal da constante errado.
• DEsquece o -2 no logaritmo de 3/4, resultando em \log_2 3/2 e -1+\log_2 3 incorretos.

Assuntos: Função exponencial, Logaritmos e função logarítmica.

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