Questão 60 (2º exame) da FUVEST 2002

Para tirar o módulo, separamos em dois casos.

Caso x \geq 0: |x| = x, então f(x) = x^2 - 2x + 2. É uma parábola com concavidade para cima e vértice em x = 1, onde f(1) = 1 - 2 + 2 = 1. Logo, para x \geq 0 há um mínimo local em (1, 1), e f(0) = 2.

Caso x < 0: |x| = -x, então f(x) = -x^2 - 2x + 2. É uma parábola com concavidade para baixo e vértice em x = -\dfrac{-2}{2\cdot(-1)} = -1, onde f(-1) = -1 + 2 + 2 = 3. Logo, para x<0 há um máximo local em (-1, 3).

O gráfico completo fica assim:

1. Para x < 0, a curva sobe até o máximo em (-1, 3), à esquerda do eixo y.
2. Depois desce, cruzando o eixo y em (0, 2).
3. Continua descendo até o mínimo em (1, 1).
4. Em seguida volta a crescer indefinidamente.

Para x \to -\infty, f(x) \to -\infty, e para x \to +\infty, f(x) \to +\infty. Isso combina com uma curva cúbica crescente nas pontas, que é a descrita na figura (e): máximo à esquerda do eixo y, mínimo em (1,1) e depois crescimento.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Aé uma única parábola para cima; ignora que a expressão muda para x<0.
• Bparábola para baixo com vértice em (1,1); não corresponde a nenhum dos dois trechos.
• Cpassa pela origem, mas f(0)=2, então o gráfico corta o eixo y em 2.
• Dinverte os trechos: teria comportamento de x^2-2x+2 à esquerda e -x^2 à direita, o oposto do correto.

Assuntos: Função modular, Função quadrática.

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