Questão 57 (2º exame) da FUVEST 2002

Question

Na figura abaixo, os triângulos ABC e DCE são equiláteros de lado \ell, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de \overline{\text{BD}} com \overline{\text{AC}}. Então, a área do triângulo BCF é:

Dois triângulos equiláteros adjacentes, ABC e DCE, sobre a base colinear BCE. O segmento de reta que liga os vértices B e D intercepta o lado AC no ponto F, definindo a região sombreada correspondente ao triângulo BCF.

A
\frac{\sqrt{3}}{8}\ell^2
B
\frac{\sqrt{3}}{6}\ell^2
C
\frac{\sqrt{3}}{3}\ell^2
D
\frac{5\sqrt{3}}{6}\ell^2
E
\frac{2\sqrt{3}}{3}\ell^2

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 57 (2º exame) da FUVEST 2002

2º exame · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

Na figura abaixo, os triângulos ABC e DCE são equiláteros de lado \ell, com B, C e E colineares. Seja F a intersecção de \overline{\text{BD}} com \overline{\text{AC}}. Então, a área do triângulo BCF é:

Dois triângulos equiláteros adjacentes, ABC e DCE, sobre a base colinear BCE. O segmento de reta que liga os vértices B e D intercepta o lado AC no ponto F, definindo a região sombreada correspondente ao triângulo BCF.

A
\frac{\sqrt{3}}{8}\ell^2
B
\frac{\sqrt{3}}{6}\ell^2
C
\frac{\sqrt{3}}{3}\ell^2
D
\frac{5\sqrt{3}}{6}\ell^2
E
\frac{2\sqrt{3}}{3}\ell^2

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Coloque B na origem, C = (ℓ, 0) e E = (2ℓ, 0). Como ABC e DCE são equiláteros, A = (ℓ/2, ℓ√3/2) e D = (3ℓ/2, ℓ√3/2).

Primeiro, o ângulo em C. Em C, os ângulos ACB e DCE medem 60° cada. Logo o ângulo ACD mede 180° - 60° - 60° = 60°, e AC é paralela a... não: o que importa é que BC e AC formam 60°.

Passos:

Reta BD: passa por (0,0) e (3ℓ/2, ℓ√3/2), com inclinação \frac{\ell\sqrt3/2}{3\ell/2}=\frac{\sqrt3}{3}. Então y=\frac{\sqrt3}{3}x, e o ângulo DBC mede 30°.
No triângulo BCF, o ângulo em B vale 30° e o ângulo em C vale 60°. Logo o ângulo em F vale 90°.
Como BC = ℓ é a hipotenusa: CF=\ell\cos 60°=\frac{\ell}{2} e BF=\ell\cos 30°=\frac{\ell\sqrt3}{2}.
Área do triângulo retângulo:

A=\frac{1}{2}\cdot\frac{\ell}{2}\cdot\frac{\ell\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{8}\ell^2

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor sem relação com os catetos CF = ℓ/2 e BF = ℓ√3/2; aparece ao errar a razão entre os lados.
CNão corresponde à área do triângulo retângulo de catetos ℓ/2 e ℓ√3/2; supera até a metade da área de ABC.
DMaior que a área do triângulo ABC inteiro (√3/4 ℓ²), impossível para uma parte dele.
ETambém excede a área de ABC, o que é impossível para BCF.

Assuntos: Triângulos: congruência e pontos notáveis, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: FUVEST 2002 · 2º exame. Prova oficial ↗