Questão 56 (2º exame) da FUVEST 2002

Chame a = x e b = \dfrac{1}{y}. O sistema fica a + b = 1 e a^2 + b^2 = 4, e o que se pede é \dfrac{x}{y} = ab.

O produto sai da identidade (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab.

1. Substitua os valores: 1^2 = 4 + 2ab.
2. Isole o produto: 2ab = 1 - 4 = -3, logo ab = -\dfrac{3}{2}.
3. Como ab = x\cdot\dfrac{1}{y} = \dfrac{x}{y}, temos \dfrac{x}{y} = -\dfrac{3}{2}.

Verificação: a e b são raízes de t^2 - t - \dfrac{3}{2} = 0, cujo discriminante é 1 + 6 = 7 > 0. Portanto existem soluções reais e o valor é consistente.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com a identidade; ignora que 2ab = 1 - 4.
• BErra a conta de (a+b)^2 - (a^2+b^2), esquecendo o fator 2 e o sinal.
• CTroca o sinal e usa um denominador sem sentido, sem aplicar 2ab=-3.
• ECalcula ab=-3/2 incorretamente como -2/3, invertendo a fração.

Assunto: Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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