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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 (2º exame) da FUVEST 2002

2º exame · Matemática: Teorema de Pitágoras e relações métricas

Um banco de altura regulável, cujo assento tem forma retangular, de comprimento 40 cm, apóia-se sobre duas barras iguais, de comprimento 60 cm (ver figura 1). Cada barra tem três furos, e o ajuste da altura do banco é feito colocando-se o parafuso nos primeiros, ou nos segundos, ou nos terceiros furos das barras (ver visão lateral do banco, na figura 2).

Esquema tridimensional do banco regulável com assento retangular de 40 cm apoiado sobre barras de 60 cm em formato de X Visão lateral do banco mostrando o assento de 40 cm e o cruzamento das barras com três furos e medidas de 25 cm e 5 cm

A menor altura que pode ser obtida é:

  1. A
    36 cm
  2. B
    38 cm
  3. C
    40 cm
  4. D
    42 cm
  5. E
    44 cm
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Resolução comentada

Na visão lateral, as duas barras formam um X. O assento (40 cm) é a base de um triângulo isósceles, cujo vértice é o ponto de cruzamento das barras, e o chão é a base de um triângulo semelhante, abaixo do cruzamento.

A menor altura ocorre quando o parafuso fica nos furos mais próximos das pontas superiores, ou seja, quando o cruzamento está mais perto do assento. Pela figura, de cada ponta superior até o furo mais distante são 25 cm; os furos ficam a 5 cm do furo central e o resto da barra (embaixo) mede 25 cm. Os três furos estão então a 25, 30 e 35 cm de uma extremidade (60 cm no total, com 25 + 5 + 5 + 25 = 60).

O furo central é o ponto de cruzamento, a 30 cm de cada ponta. Para a menor altura, o cruzamento é feito nos furos que ficam a 25 cm das pontas superiores (primeiros furos).

  1. Triângulo superior: lados de 25 cm e base de 40 cm, ou seja, metade da base é 20 cm.
  2. Altura do triângulo superior: h_1=\sqrt{25^2-20^2}=\sqrt{225}=15\ \text{cm}.
  3. Embaixo, o restante da barra mede 60-25=35 cm, e a base inferior é proporcional: 40\cdot\frac{35}{25}=56 cm, com metade 28 cm.
  4. Altura do triângulo inferior: h_2=\sqrt{35^2-28^2}=\sqrt{441}=21\ \text{cm}.
  5. Altura total: h=15+21=36\ \text{cm}.

Outras escolhas de furos dão alturas maiores, pois o cruzamento a 30 cm e a 35 cm das pontas gera triângulos mais altos.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BValor sem relação com a semelhança de triângulos; não corresponde a nenhum par de furos.
  • CCorresponde a um furo mais alto do que o mínimo, não à menor altura.
  • DAltura obtida com furos intermediários, maior que a mínima.
  • EAltura da configuração com furos mais afastados, a maior, não a menor.

Assuntos: Teorema de Pitágoras e relações métricas, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 50 no caderno T da FUVEST 2002

Fonte: FUVEST 2002 · 2º exame. Prova oficial ↗