Questão 51 (2º exame) da FUVEST 2002

Veja o livro como duas páginas retangulares que se encontram na lombada (aresta vertical), formando 60^\circ entre si. As diagonais partem do mesmo vértice superior, uma em cada página, e o ângulo \alpha fica entre elas.

1. Cada página tem base 1 e altura h=\sqrt{1+\sqrt3}. A diagonal mede d=\sqrt{1+h^2}=\sqrt{2+\sqrt3}.

2. Na base, as duas bordas de 1\ \text{dm} saem da lombada formando 60^\circ. O triângulo formado por elas é equilátero, então a distância entre as pontas das bases é 1.

3. As pontas inferiores das diagonais estão a essa distância 1 uma da outra. As duas diagonais e esse segmento formam um triângulo isósceles de lados d, d e 1.

4. Lei dos cossenos:
   

   1=d^2+d^2-2d^2\cos\alpha \Rightarrow \cos\alpha=\frac{2d^2-1}{2d^2}=\frac{3+2\sqrt3}{4+2\sqrt3}

5. Simplificando: \cos\alpha=\dfrac{(3+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}{16-12}=\dfrac{12-6\sqrt3+8\sqrt3-12}{4}=\dfrac{2\sqrt3}{4}=\dfrac{\sqrt3}{2}.

Logo \alpha=30^\circ.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana por repetir os 60^\circ do enunciado, que é o ângulo entre as páginas, não entre as diagonais.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão decorre do cálculo: \cos 15^\circ não é \sqrt3/2.
• C\cos 45^\circ=\sqrt2/2, valor que não resulta da lei dos cossenos aqui.
• DConfunde \alpha com o ângulo de 60^\circ entre as páginas.
• ENão corresponde ao cosseno obtido; \cos 75^\circ é bem menor.

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Geometria espacial de posição.

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