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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 48 (2º exame) da FUVEST 2002

2º exame · Matemática: Probabilidade: conceitos básicos

Dois triângulos congruentes, com lados coloridos, são indistinguíveis se podem ser sobrepostos de tal modo que as cores dos lados coincidentes sejam as mesmas. Dados dois triângulos equiláteros congruentes, cada um de seus lados é pintado com uma cor escolhida dentre duas possíveis, com igual probabilidade. A probabilidade de que esses triângulos sejam indistinguíveis é de:

  1. A
    \dfrac{1}{2}
  2. B
    \dfrac{3}{4}
  3. C
    \dfrac{9}{16}
  4. D
    \dfrac{5}{16}
  5. E
    \dfrac{15}{32}
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Resolução comentada

Cada triângulo equilátero tem 3 lados, e cada lado recebe uma de duas cores. Como os triângulos podem ser girados (e virados) para sobrepor, só importa quantos lados têm cada cor, não a posição deles.

Classificamos as colorações de um triângulo (total 2^3=8):

  1. Três lados da cor 1: 1 modo, probabilidade \frac{1}{8}.
  2. Três lados da cor 2: 1 modo, probabilidade \frac{1}{8}.
  3. Dois da cor 1 e um da cor 2: 3 modos, probabilidade \frac{3}{8}.
  4. Um da cor 1 e dois da cor 2: 3 modos, probabilidade \frac{3}{8}.

Esses quatro tipos são as classes de triângulos indistinguíveis: dois triângulos com a mesma contagem de cores sempre podem ser sobrepostos com as cores coincidindo (basta girar até o lado "diferente" coincidir).

Os dois triângulos são indistinguíveis quando caem na mesma classe. A probabilidade é a soma dos quadrados das probabilidades das classes:

\left(\frac{1}{8}\right)^2+\left(\frac{1}{8}\right)^2+\left(\frac{3}{8}\right)^2+\left(\frac{3}{8}\right)^2=\frac{1+1+9+9}{64}=\frac{20}{64}=\frac{5}{16}

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão tem base na contagem das classes; ignora que os triângulos só são indistinguíveis se tiverem a mesma distribuição de cores.
  • BValor sem justificativa, muito alto; a probabilidade de caírem na mesma classe é bem menor.
  • CAparece ao se confundir a contagem, por exemplo usando (3/4)^2, sem agrupar corretamente as classes.
  • ENão resulta da soma dos quadrados das probabilidades das quatro classes; é um valor sem sentido para o espaço de 64 casos.

Assuntos: Probabilidade: conceitos básicos, Combinações e binômio de Newton.

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Ver como caiu na prova Questão 48 no caderno T da FUVEST 2002

Fonte: FUVEST 2002 · 2º exame. Prova oficial ↗