Questão 60 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de \overline{\text{AB}} e \overline{\text{CD}}, respectivamente. Então, o valor de EF é:

Desenho de um tetraedro regular ABCD, com vértices D superior, B inferior, A à esquerda e C à direita. A aresta AC é tracejada. O ponto E é o ponto médio da aresta AB e o ponto F é o ponto médio da aresta CD.

A
\frac{a}{2}
B
\frac{a\sqrt{2}}{2}
C
\frac{a\sqrt{2}}{4}
D
\frac{a\sqrt{3}}{2}
E
\frac{a\sqrt{3}}{4}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 60 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Pirâmides e tronco de pirâmide

Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de \overline{\text{AB}} e \overline{\text{CD}}, respectivamente. Então, o valor de EF é:

Desenho de um tetraedro regular ABCD, com vértices D superior, B inferior, A à esquerda e C à direita. A aresta AC é tracejada. O ponto E é o ponto médio da aresta AB e o ponto F é o ponto médio da aresta CD.

A
\frac{a}{2}
B
\frac{a\sqrt{2}}{2}
C
\frac{a\sqrt{2}}{4}
D
\frac{a\sqrt{3}}{2}
E
\frac{a\sqrt{3}}{4}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Todas as arestas medem a e todas as faces são triângulos equiláteros.

A ideia é ligar E e F ao vértice oposto, formando um triângulo isósceles com EF como base.

Em \triangle ACD, equilátero, AF é mediana e também altura: AF = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
Em \triangle BCD, também equilátero, BF é mediana: BF = \frac{a\sqrt{3}}{2}.
Então \triangle ABF é isósceles de base AB = a. Como E é o ponto médio de AB, FE é a mediana relativa à base, logo é perpendicular a AB.
No triângulo retângulo AEF, com AE = \frac{a}{2} e hipotenusa AF = \frac{a\sqrt{3}}{2}:

EF^2 = AF^2 - AE^2 = \frac{3a^2}{4} - \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{2}

EF = \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASupõe que EF seja simplesmente metade da aresta, sem calcular a distância entre as arestas opostas.
CDivide por 2 uma vez a mais, chegando a \frac{a\sqrt{2}}{4}, que seria metade do valor correto.
DDá a altura da face (AF), não a distância EF.
EUsa \frac{a\sqrt{3}}{4}, metade da altura da face, sem aplicar Pitágoras no triângulo AEF.

Assuntos: Pirâmides e tronco de pirâmide, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗