Questão 59 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h_1, h_2, ..., h_{10} (h_1 < h_2 < \text{...} < h_9 < h_{10}). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos \binom{10}{5} = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h_7, ocupará a posição central durante a demonstração?

A
7
B
10
C
21
D
45
E
60

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 59 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Combinações e binômio de Newton

Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h_1, h_2, ..., h_{10} (h_1 < h_2 < \text{...} < h_9 < h_{10}). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos \binom{10}{5} = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h_7, ocupará a posição central durante a demonstração?

A
7
B
10
C
21
D
45
E
60

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Os cinco escolhidos ficam alinhados em ordem crescente de altura. A posição central é a 3ª, então o estudante h_7 ocupará essa posição se, e somente se, houver exatamente 2 escolhidos mais baixos e 2 mais altos que ele.

Vamos contar:

Mais baixos que h_7: são h_1, \dots, h_6, ou seja, 6 estudantes. Devemos escolher 2 deles: \binom{6}{2} = \dfrac{6\cdot 5}{2} = 15.
Mais altos que h_7: são h_8, h_9, h_{10}, ou seja, 3 estudantes. Devemos escolher 2 deles: \binom{3}{2} = 3.
O estudante h_7 está fixo no grupo, e a ordem de alinhamento já é determinada pelas alturas.

Pelo princípio multiplicativo:

15 \cdot 3 = 45

Portanto, 45 dos 252 grupos colocam h_7 no centro.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANúmero sem relação com a contagem; lembra apenas o índice 7 de h_7.
BConfunde com o total de estudantes ou com \binom{6}{2}-\binom{3}{2}-\dots; não aplica o princípio multiplicativo.
CCalcula \binom{7}{2}=21 ou algo semelhante, esquecendo que só há 3 mais altos e 6 mais baixos.
EMultiplica \binom{6}{2} por 4 ou usa \binom{6}{2}\cdot\binom{4}{2}=90 pela metade; erra o número de estudantes mais altos.

Assunto: Combinações e binômio de Newton.

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Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗