Questão 54 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

Na figura abaixo, a reta r é paralela ao segmento \overline{\text{AC}}, sendo \text{E} o ponto de intersecção de r com a reta determinada por \text{D} e \text{C}. Se as áreas dos triângulos \text{ACE} e \text{ADC} são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero \text{ABED} é 21, então a área do triângulo \text{BCE} é:

Quadrilátero ABCD com o prolongamento do lado DC interceptando a reta r que passa por B no ponto E

A
6
B
7
C
8
D
9
E
10

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

Na figura abaixo, a reta r é paralela ao segmento \overline{\text{AC}}, sendo \text{E} o ponto de intersecção de r com a reta determinada por \text{D} e \text{C}. Se as áreas dos triângulos \text{ACE} e \text{ADC} são 4 e 10, respectivamente, e a área do quadrilátero \text{ABED} é 21, então a área do triângulo \text{BCE} é:

Quadrilátero ABCD com o prolongamento do lado DC interceptando a reta r que passa por B no ponto E

A
6
B
7
C
8
D
9
E
10

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Ideia central: triângulos com a mesma base e alturas iguais têm a mesma área. Como r \parallel AC, todos os pontos de r estão à mesma distância da reta AC. Logo, B e E formam com a base AC triângulos de mesma área: [ABC]=[AEC]=4.

Agora, o quadrilátero ABED pode ser decomposto assim: ABED = ABC + ACD + CDE... vamos conferir pela figura. O quadrilátero ABED tem vértices A, B, E, D, e o ponto C está no segmento DE. Então o quadrilátero se divide em ABC, ACD e BCE (o triângulo BEC fica entre B, E e C).

[ABC]=[ACE]=4 (mesma base AC, mesma altura).
[ADC]=10.
Área do quadrilátero: [ABC]+[ADC]+[BCE]=21.

Substituindo:

4+10+[BCE]=21

[BCE]=21-14=7

Confere com a figura: C está entre D e E, então ABED realmente contém ABC, ACD e BCE sem sobreposição.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

ASubtrai valores errados, por exemplo descontando 15 em vez de 14 (4+10+1).
CNão usa que ABC tem área 4; faz 21 − 10 − 3 sem justificativa.
DSubtrai apenas 12, esquecendo parte das áreas conhecidas.
EConfunde com a área de ADC (10), sem decompor o quadrilátero.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗