Questão 53 (2º exame) da FUVEST 2001

A ideia é escrever tudo em função de \tg\theta usando as fórmulas do arco duplo.

Usamos \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sen^2\theta e \sen 2\theta = 2\sen\theta\cos\theta. Além disso, 1 = \sen^2\theta + \cos^2\theta.

1. Numerador: \cos 2\theta = \cos^2\theta - \sen^2\theta.
2. Denominador: 1 + \sen 2\theta = \sen^2\theta + \cos^2\theta + 2\sen\theta\cos\theta = (\sen\theta + \cos\theta)^2.
3. Fatorando o numerador: \cos 2\theta = (\cos\theta - \sen\theta)(\cos\theta + \sen\theta).
4. Simplificando:

5. Dividindo numerador e denominador por \cos\theta (que não é zero, pois \tg\theta existe):

Conferindo com um caso: \tg\theta=2 dá \cos 2\theta = \frac{1-4}{1+4} = -\frac35 e \sen 2\theta = \frac{2\cdot 2}{1+4} = \frac45. Então \frac{-3/5}{9/5} = -\frac13. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AParece vir de dividir -\frac35 por \frac15, errando o denominador (esquece de somar 1 a \sen 2\theta corretamente).
• CAcerta o módulo, mas erra o sinal: \cos 2\theta é negativo para \tg\theta=2.
• DValor sem base na simplificação; não sai de \frac{1-\tg\theta}{1+\tg\theta}.
• EValor sem base na simplificação; não corresponde ao cálculo correto.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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