Questão 55 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

Numa circunferência, c_1 é o comprimento do arco de \frac{\pi}{6} radianos e c_2 é o comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura abaixo. Então, a razão c_1/c_2 é igual a \frac{\pi}{6} multiplicado por:

Setor circular com ângulo central de pi/6 radianos, destacando o arco de comprimento c1 e a corda de comprimento c2

A
2
B
\sqrt{1 + 2\sqrt{3}}
C
\sqrt{2 + \sqrt{3}}
D
\sqrt{2 + 2\sqrt{3}}
E
\sqrt{3 + \sqrt{3}}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

Numa circunferência, c_1 é o comprimento do arco de \frac{\pi}{6} radianos e c_2 é o comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura abaixo. Então, a razão c_1/c_2 é igual a \frac{\pi}{6} multiplicado por:

Setor circular com ângulo central de pi/6 radianos, destacando o arco de comprimento c1 e a corda de comprimento c2

A
2
B
\sqrt{1 + 2\sqrt{3}}
C
\sqrt{2 + \sqrt{3}}
D
\sqrt{2 + 2\sqrt{3}}
E
\sqrt{3 + \sqrt{3}}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Seja R o raio da circunferência. O arco c_1 corresponde a um ângulo central de \frac{\pi}{6} rad, e o comprimento de um arco é o raio vezes o ângulo em radianos:

c_1 = R\cdot\frac{\pi}{6}

A corda c_2 une as extremidades do arco e forma, com os dois raios, um triângulo isósceles de lados R, R e ângulo 30^\circ entre eles. Pela lei dos cossenos:

c_2^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos 30^\circ = R^2\left(2-\sqrt{3}\right)

Logo:

c_2 = R\sqrt{2-\sqrt{3}}

A razão fica:

\frac{c_1}{c_2} = \frac{\pi}{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}

Para que o resultado apareça como um dos fatores das alternativas, racionalizamos:

\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{1}{2-\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}} = \sqrt{2+\sqrt{3}}

Portanto:

\frac{c_1}{c_2} = \frac{\pi}{6}\cdot\sqrt{2+\sqrt{3}}

Conferência numérica: \sqrt{2+1{,}732}\approx 1{,}93, e 1/0{,}5176\approx 1{,}93. Confere.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AUsa o fator 2, como se a corda fosse metade do arco; na verdade a razão é cerca de 1,93, e o 2 não sai da conta.
BExpressão sem origem na lei dos cossenos; não equivale a 1/\sqrt{2-\sqrt{3}} (vale cerca de 2,11).
DValor cerca de 2,11, não coincide com 1/\sqrt{2-\sqrt{3}}\approx 1{,}93; vem de racionalização ou coeficiente errado.
EValor cerca de 2,17; erro ao racionalizar ou ao calcular o cosseno de 30°.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Lei dos senos e lei dos cossenos.

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Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗