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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 51 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Progressão geométrica

Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

  1. A
    10
  2. B
    12
  3. C
    14
  4. D
    16
  5. E
    18
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Resolução comentada

Seja r a razão da PA e q a razão da PG. Ambas começam em 4.

Termos da PA: 4,\ 4+r,\ 4+2r.
Termos da PG: 4,\ 4q,\ 4q^2.

  1. Os terceiros termos coincidem: 4+2r = 4q^2, ou seja, r = 2q^2-2.
  2. O segundo termo da PA excede o da PG em 2: 4+r = 4q+2, ou seja, r = 4q-2.

Igualando as duas expressões de r:

2q^2-2 = 4q-2 \Rightarrow 2q^2-4q=0 \Rightarrow 2q(q-2)=0

Logo q=0 ou q=2.

Se q=0, então r=-2 e o terceiro termo seria 4+2(-2)=0, que não é estritamente positivo. Descartamos.

Se q=2, então r=4\cdot 2-2=6. O terceiro termo da PA é 4+2\cdot 6=16 e o da PG é 4\cdot 2^2=16. Coincidem e são positivos.

Verificação: o segundo termo da PA é 10 e o da PG é 8, e 10-8=2. Confere.

O terceiro termo é 16.

Alternativa D.

Pegadinha: A raiz q=0 também resolve a equação, mas dá terceiro termo 0, descartado pela condição de ser estritamente positivo.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A10 é o segundo termo da PA, não o terceiro.
  • Bnão satisfaz o sistema; nenhuma razão possível dá terceiro termo 12.
  • Cnão satisfaz o sistema; nenhuma razão possível dá terceiro termo 14.
  • Enão satisfaz o sistema; nenhuma razão possível dá terceiro termo 18.

Assuntos: Progressão geométrica, Progressão aritmética.

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Ver como caiu na prova Questão 51 no caderno T da FUVEST 2001

Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗