Questão 50 (2º exame) da FUVEST 2001

Como P=(a,b) está na circunferência de centro na origem e raio 1, vale a^2+b^2=1.

Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo.

1. Coloque b^4 em evidência no parêntese: \dfrac{a^4}{b^4}-1=\dfrac{a^4-b^4}{b^4}.

2. Fatore a diferença de quadrados: a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2).

3. Substitua na expressão:
   

   \frac{b^3}{a^2-b^2}\cdot\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{b^4}

4. Cancele a^2-b^2, que é diferente de zero porque a\ne\pm b, e cancele b^3 com b^4, restando b no denominador:
   

   \frac{a^2+b^2}{b}

5. Use a^2+b^2=1: o resultado é \dfrac{1}{b}, que existe e é positivo porque b>0.

6. Aplique o logaritmo: \log\dfrac{1}{b}=\log b^{-1}=-\log b.

Portanto, a expressão vale -\log b.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que sobra b no denominador (cancelando b^3 com b^4) e perde o sinal negativo.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASupõe que a fração interna vale 1, esquecendo que sobra 1/b após simplificar.
• BConfunde o valor a^2+b^2=1 com o resultado final, sem dividir por b nem aplicar o log.
• DErra o sinal: o resultado é 1/b, não b, então o log é -\log b.
• ENão há razão para b^2; o cancelamento de b^3 com b^4 deixa só b (no denominador).

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Expressões algébricas, produtos notáveis e fatoração.

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