Questão 52 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

O quadrado ao lado tem O como centro e M como ponto médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos lados do quadrado, seja \theta o ângulo \text{M}\hat{\text{O}}\text{X}, medido em radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a distância de O a X, em função de \theta, é:

$Quadrado com centro O e ponto médio M no lado direito. O segmento OX liga o centro O a um ponto X situado no lado superior do quadrado, formando um ângulo $\theta$ com o segmento horizontal OM no sentido anti-horário.$

$Cinco gráficos cartesianos de distância em função de $\theta$ no intervalo de 0 a $2\pi$, identificados pelas letras de a a e.$

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas

O quadrado ao lado tem O como centro e M como ponto médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos lados do quadrado, seja \theta o ângulo \text{M}\hat{\text{O}}\text{X}, medido em radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a distância de O a X, em função de \theta, é:

$Quadrado com centro O e ponto médio M no lado direito. O segmento OX liga o centro O a um ponto X situado no lado superior do quadrado, formando um ângulo $\theta$ com o segmento horizontal OM no sentido anti-horário.$

$Cinco gráficos cartesianos de distância em função de $\theta$ no intervalo de 0 a $2\pi$, identificados pelas letras de a a e.$

As alternativas estão no enunciado, acima.

A
B
C
D
E

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

Seja a a metade do lado do quadrado. Então OM = a é a menor distância possível de O aos lados.

Para 0\le\theta\le\pi/4, X está no lado direito (o que contém M). O triângulo OMX é retângulo em M, com cateto OM=a, e portanto:

OX=\frac{a}{\cos\theta}

Em \theta=0, OX=a (mínimo). Em \theta=\pi/4, X é o vértice e OX=a\sqrt2 (máximo).

Para \pi/4\le\theta\le\pi/2, X está no lado superior e OX=\dfrac{a}{\sen\theta}. Em \pi/2 volta a valer a.

O padrão se repete a cada \pi/2. Assim, em [0,2\pi] há 4 períodos, com mínimos a em 0,\pi/2,\pi,\dots e máximos a\sqrt2 em \pi/4,3\pi/4,\dots.

Formato da curva: 1/\cos\theta cresce de forma convexa (curvando para cima) até o máximo. No vértice há um bico (pico), porque a derivada muda de sinal. Nos mínimos, a curva é suave, com concavidade para cima.

Isso exclui:

os gráficos com máximos arredondados (b, c, d);
o gráfico com trechos retos (e).

Sobra o gráfico com 4 arcos, bicos nos máximos e mínimos suaves, ou seja, o gráfico a. A razão entre máximo e mínimo é \sqrt2\approx1{,}41, e o mínimo não é zero, o que confere com o gráfico a.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana por ter o mesmo período, mas inverte onde ficam os bicos: o bico é no vértice (máximo), não no ponto médio do lado.

Por que as outras alternativas estão erradas

Bé uma senoide com 2 períodos; a distância tem período \pi/2 e apresenta bicos nos máximos.
Cé senoide com 4 períodos que oscila em torno de zero; a distância nunca é negativa nem nula.
Dtem os bicos nos mínimos e os máximos arredondados, o inverso do que ocorre (bico no vértice, máximo).
Etem trechos retilíneos, mas a/\cos\theta não é função afim de \theta.

Assuntos: Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas, Ângulos, polígonos e quadriláteros.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗