Questão 46 (2º exame) da FUVEST 2001

Question

A elipse x^2 + \frac{y^2}{2} = \frac{9}{4} e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos \text{A} e \text{B}. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento \overline{\text{A B}} é:

A
\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)
B
\left(\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)
C
\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)
D
\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
E
\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 (2º exame) da FUVEST 2001

2º exame · Matemática: Cônicas e lugares geométricos

A elipse x^2 + \frac{y^2}{2} = \frac{9}{4} e a reta y = 2x + 1, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos \text{A} e \text{B}. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento \overline{\text{A B}} é:

A
\left(-\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}\right)
B
\left(\frac{2}{3}, -\frac{7}{3}\right)
C
\left(\frac{1}{3}, -\frac{5}{3}\right)
D
\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
E
\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)

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Resolução comentada

Para achar os pontos de interseção, substituímos a reta na elipse e resolvemos a equação em x. O ponto médio terá abscissa igual à média das duas raízes.

Substituindo y = 2x+1 na elipse:
x^2 + \frac{(2x+1)^2}{2} = \frac{9}{4}
Multiplicando tudo por 4:
4x^2 + 2(4x^2+4x+1) = 9
Desenvolvendo:
4x^2 + 8x^2 + 8x + 2 = 9 \Rightarrow 12x^2 + 8x - 7 = 0
Pela soma das raízes, x_A + x_B = -\frac{8}{12} = -\frac{2}{3}. Logo, a abscissa do ponto médio é
x_M = \frac{x_A+x_B}{2} = -\frac{1}{3}
Como o ponto médio também está sobre a reta (pois A e B estão nela):
y_M = 2\left(-\frac{1}{3}\right)+1 = \frac{1}{3}

Portanto M = \left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right).

Não é preciso calcular as raízes individualmente: a soma delas já basta. O discriminante é 64+336=400>0, então a reta realmente corta a elipse em dois pontos.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa A engana quem esquece de dividir a soma das raízes por 2 para obter a abscissa do ponto médio.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa a soma das raízes -\frac{2}{3} como abscissa, sem dividir por 2.
Bnão corresponde a nenhum cálculo coerente; o ponto nem pertence à reta y=2x+1.
Ctem abscissa positiva, mas a soma das raízes é negativa; o ponto não está na reta.
Eo ponto não satisfaz y=2x+1, logo não pode ser ponto médio de uma corda da reta.

Assuntos: Cônicas e lugares geométricos, Ponto e reta no plano cartesiano.

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Fonte: FUVEST 2001 · 2º exame. Prova oficial ↗