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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 56 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

– Na figura abaixo, ABC é um triângulo isósceles e retângulo em A e PQRS é um quadrado de lado \frac{2\sqrt{2}}{3}. Então, a medida do lado AB é:

Triângulo retângulo isósceles ABC, com o vértice de ângulo reto A no topo e a hipotenusa BC na base. Em seu interior, está o quadrado PQRS com a base PQ sobre o segmento BC e os vértices S e R sobre os lados AB e AC, respectivamente.

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    5
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Resolução comentada

Como ABC é isósceles e retângulo em A, os ângulos B e C medem 45^\circ. O quadrado tem lado \ell=\frac{2\sqrt{2}}{3}, com a base PQ sobre BC.\n\nOs triângulos BPS e CQR são retângulos (em P e Q) com ângulo de 45^\circ, logo são isósceles: BP = PS = \ell e QC = QR = \ell.\n\n1. Hipotenusa: BC = BP + PQ + QC = 3\ell.\n2. Substituindo: BC = 3\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = 2\sqrt{2}.\n3. No triângulo ABC isósceles e retângulo, com cateto AB = x, a hipotenusa é BC = x\sqrt{2}.\n4. Então x\sqrt{2} = 2\sqrt{2}, o que dá x = 2.\n\nConferindo: a altura de A até BC vale \frac{BC}{2}=\sqrt{2}, e o quadrado, de lado \frac{2\sqrt2}{3}, ocupa um terço da base, coerente com a semelhança de triângulos.\n\nAlternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece que a hipotenusa vale x\sqrt{2} e, por exemplo, divide BC por 2 em vez de por \sqrt{2}.
  • CNão corresponde a nenhuma relação válida; resulta de erro ao relacionar o lado do quadrado com a hipotenusa.
  • DToma BC=2\sqrt2 como se fosse o cateto e dobra o valor, ou erra a razão \sqrt2.
  • EValor sem base geométrica, muito maior que o possível: a hipotenusa seria 5\sqrt2, bem maior que 3\ell.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Ver como caiu na prova Questão 56 no caderno T da FUVEST 2000

Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗