Questão 53 (2º exame) da FUVEST 2000

Question

– Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento \overline{DE} é paralelo a \overline{AB}, F é um ponto de \overline{AB} e o segmento \overline{CF} intercepta \overline{DE} no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Assim, a área do triângulo CDE é:

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, cateto vertical AC e cateto horizontal AB. Um segmento DE paralelo a AB intersecta AC em D e BC em E. Um segmento CF corta DE no ponto G.

A
\frac{16}{3}
B
\frac{35}{6}
C
\frac{39}{8}
D
\frac{40}{9}
E
\frac{70}{9}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 53 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

– Na figura, ABC é um triângulo retângulo de catetos AB = 4 e AC = 5. O segmento \overline{DE} é paralelo a \overline{AB}, F é um ponto de \overline{AB} e o segmento \overline{CF} intercepta \overline{DE} no ponto G, com CG = 4 e GF = 2. Assim, a área do triângulo CDE é:

Triângulo retângulo ABC com ângulo reto em A, cateto vertical AC e cateto horizontal AB. Um segmento DE paralelo a AB intersecta AC em D e BC em E. Um segmento CF corta DE no ponto G.

A
\frac{16}{3}
B
\frac{35}{6}
C
\frac{39}{8}
D
\frac{40}{9}
E
\frac{70}{9}

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Resolução comentada

Como DE \parallel AB e AB \perp AC, o segmento DE também é perpendicular a AC. Então CDE é retângulo em D, com CD sobre AC e DE paralelo a AB. Ele é semelhante a CAB.\n\nA razão de semelhança vem dos triângulos CDG e CAF. Eles são semelhantes porque DG \parallel AF. Logo:\n\n

\frac{CG}{CF}=\frac{CD}{CA}

\n\n1. CF = CG + GF = 4 + 2 = 6.\n2. A razão é \dfrac{CG}{CF}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.\n3. Então CD = \dfrac{2}{3}\cdot 5 = \dfrac{10}{3}.\n4. Pela semelhança de CDE com CAB: DE = \dfrac{2}{3}\cdot AB = \dfrac{2}{3}\cdot 4 = \dfrac{8}{3}.\n5. Área de CDE:\n\n

\frac{CD\cdot DE}{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{3}=\frac{40}{9}

\n\nConferindo: a área de CAB é \frac{4\cdot5}{2}=10. A razão entre áreas é \left(\frac{2}{3}\right)^2=\frac{4}{9}, e 10\cdot\frac{4}{9}=\frac{40}{9}.\n\nAlternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

ANão corresponde à razão de semelhança 2/3 aplicada aos catetos; é um valor sem base no cálculo.
BResulta de uma razão de semelhança errada, sem usar CG/CF = 2/3.
CValor sem relação com a razão correta; vem de uma proporção mal montada.
EUsa a razão 2/3 na área em vez de (2/3)^2; 10\cdot\frac{7}{9} não é o caso, o valor não corresponde à área correta.

Assuntos: Semelhança e Teorema de Tales, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗