Questão 52 (2º exame) da FUVEST 2000

Como A é inversível, existe A^{-1}, e podemos "cortar" um fator A da equação.

1. Multiplique os dois lados de A^2 = 2A por A^{-1}: A^{-1}\cdot A\cdot A = 2\,A^{-1}\cdot A, o que dá A = 2I, onde I é a matriz identidade 2\times 2.

2. Assim, A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}.

3. O determinante é \det A = 2\cdot 2 - 0\cdot 0 = 4.

Conferindo: A^2 = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 2A. Vale.

Outro caminho: aplicando o determinante em A^2 = 2A, temos (\det A)^2 = \det(2A) = 2^2\det A = 4\det A. Como \det A \neq 0 (inversível), dividimos por \det A e obtemos \det A = 4. Note que, numa matriz 2\times 2, multiplicar por 2 multiplica o determinante por 2^2, e não por 2.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa C engana quem acha que \det(2A)=2\det A, quando na verdade é 2^2\det A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Adeterminante zero é incompatível com matriz inversível.
• Bvaleria para a identidade, mas I^2 = I \neq 2I.
• Cusa \det(2A)=2\det A, esquecendo que em ordem 2 o fator é 2^2.
• Dnão resulta de nenhuma etapa correta; não satisfaz (\det A)^2 = 4\det A.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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