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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 51 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Prismas e paralelepípedos

No paralelepípedo reto retângulo da figura abaixo, sabe-se que \text{AB} = \text{AD} = a, \text{AE} = b e que \text{M} é a intersecção das diagonais da face \text{ABFE}. Se a medida de \overline{\text{MC}} também é igual a b, o valor de b será:

Paralelepípedo reto retângulo de vértices ABCDEFGH, com base inferior ABFE de lados AE medindo b e AB medindo a, e altura AD medindo a. As diagonais da face ABFE cruzam-se no ponto M.

  1. A
    \sqrt{2}\ a
  2. B
    \sqrt{\dfrac{3}{2}}\ a
  3. C
    \sqrt{\dfrac{7}{5}}\ a
  4. D
    \sqrt{3}\ a
  5. E
    \sqrt{\dfrac{5}{3}}\ a
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Resolução comentada

Pela figura, o paralelepípedo tem arestas AB = a, AD = a e AE = b. A face ABFE é um retângulo com lados AB = a e AE = b, e M é o centro dessa face. Vamos calcular MC e igualar a b.

Coloque a origem em A, com B=(a,0,0), E=(0,b,0), D=(0,0,a). Então F=(a,b,0) e C=B+D-A=(a,0,a).

  1. O ponto M é o ponto médio de AF: M=\left(\dfrac{a}{2},\dfrac{b}{2},0\right).

  2. O vetor \overrightarrow{MC} vale \left(\dfrac{a}{2},-\dfrac{b}{2},a\right).

  3. Então

    MC^2=\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{b^2}{4}+a^2=\dfrac{5a^2+b^2}{4}.

  4. Impondo MC=b:

    \dfrac{5a^2+b^2}{4}=b^2 \Rightarrow 5a^2+b^2=4b^2 \Rightarrow 3b^2=5a^2.

  5. Logo

    b^2=\dfrac{5}{3}a^2 \Rightarrow b=\sqrt{\dfrac{5}{3}}\,a.

Conferência por outro caminho: BM é metade da diagonal da face, e BM=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}. Como BC=a é perpendicular ao plano da face ABFE, MC^2=BM^2+BC^2=\dfrac{a^2+b^2}{4}+a^2, o mesmo resultado.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AResultado que não sai da equação 3b^2=5a^2; ignora o termo a^2 do triângulo retângulo MBC.
  • BCorresponde a 2b^2=3a^2, o que ocorre se MC^2 for montado com erro na soma dos quadrados.
  • CDaria 5b^2=7a^2, que não resulta de MC^2=\frac{5a^2+b^2}{4}=b^2.
  • DDaria b^2=3a^2, o que ocorre se tomar MC como a diagonal inteira do paralelepípedo, e não do ponto médio.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Ver como caiu na prova Questão 51 no caderno T da FUVEST 2000

Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗