Questão 50 (2º exame) da FUVEST 2000

Question

– Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:

Quadrado com uma diagonal e uma semicircunferência de diâmetro coincidente com a base inferior. A diagonal cruza o topo da semicircunferência, e a região abaixo dela e do arco direito da semicircunferência até a base está hachurada.

A
\dfrac{\pi}{2} + 2
B
\pi + 2
C
\pi + 3
D
\pi + 4
E
2\pi + 1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 50 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

– Na figura seguinte, estão representados um quadrado de lado 4, uma de suas diagonais e uma semicircunferência de raio 2. Então a área da região hachurada é:

Quadrado com uma diagonal e uma semicircunferência de diâmetro coincidente com a base inferior. A diagonal cruza o topo da semicircunferência, e a região abaixo dela e do arco direito da semicircunferência até a base está hachurada.

A
\dfrac{\pi}{2} + 2
B
\pi + 2
C
\pi + 3
D
\pi + 4
E
2\pi + 1

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Coloque o quadrado com vértices (0,0), (4,0), (4,4), (0,4). A semicircunferência tem diâmetro na base, centro (2,0) e raio 2. A diagonal que sai de (0,0) é a reta y=x e passa pelo ponto (2,2), que é o topo da semicircunferência.

A região hachurada fica abaixo da diagonal e do arco, e vai até a base. Dividimos em duas partes, cortando pelo segmento vertical que liga o centro (2,0) ao topo (2,2).

Parte da esquerda: é o triângulo de vértices (0,0), (2,0) e (2,2). Ele é retângulo com catetos 2 e 2, então sua área é \dfrac{2\cdot 2}{2}=2.
Parte da direita: é a região sob o arco, entre x=2 e x=4. É um quarto do círculo de raio 2, com área \dfrac{\pi\cdot 2^2}{4}=\pi.

Somando:

A = 2+\pi

Conferindo a figura: à esquerda, a região é limitada pela diagonal, que fica abaixo do arco entre x=0 e x=2, então o triângulo é de fato a região hachurada ali. À direita, o limite é o arco. Assim a resposta é consistente.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Ausa meio quarto de círculo (\pi/2) em vez do quarto de círculo inteiro, de área \pi.
Csoma 3 em vez de 2, errando a área do triângulo de catetos 2 e 2.
Dsoma 4, o que seria o quadrado de lado 2, e não o triângulo.
Eusa meio círculo (2\pi) e uma parcela 1 sem justificativa.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗