Questão 49 (2º exame) da FUVEST 2000

Question

– Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (- a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é:

A
5
B
4
C
3
D
2
E
1

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 49 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Progressão aritmética

– Sejam a, b, c três números estritamente positivos em progressão aritmética. Se a área do triângulo ABC, cujos vértices são A = (- a, 0), B = (0, b) e C = (c, 0), é igual a b, então o valor de b é:

A
5
B
4
C
3
D
2
E
1

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Resolução comentada

Conceito: os pontos A e C estão no eixo x, então a base do triângulo é a distância AC e a altura é a ordenada de B, ou seja, b.

Base: AC = c - (-a) = a + c.
Altura: b (distância de B=(0,b) ao eixo x).
Área: \dfrac{(a+c)\cdot b}{2} = b.

Como b>0, podemos dividir por b:

\frac{a+c}{2} = 1 \Rightarrow a + c = 2.

Agora usamos a progressão aritmética: a, b, c em PA significa que o termo do meio é a média dos extremos:

b = \frac{a+c}{2} = \frac{2}{2} = 1.

Verificação: por exemplo, a=c=1 e b=1 formam uma PA de razão 0, com base 2 e altura 1, área \frac{2\cdot 1}{2}=1=b. Confere.

Alternativa E.

Pegadinha: A alternativa D engana quem para em a+c=2 e esquece que b é a média de a e c, ou seja, b=1.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com a+c=2; não resulta da condição de PA nem da área.
BNão segue de b=(a+c)/2 com a+c=2.
CValor sem fundamento; ignora que a área igual a b fixa a+c=2.
DConfunde a+c=2 com b, esquecendo de dividir por 2 na média da PA.

Assuntos: Progressão aritmética, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗