Questão 46 (2º exame) da FUVEST 2000

Question

— A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y = \log_{10} x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos, é:

Gráfico da função y = log₁₀ x no plano cartesiano com dois retângulos hachurados: o primeiro no intervalo de x entre 2 e 3, com altura delimitada pelas imagens de 2 e 3; o segundo no intervalo de x entre 3 e 4, com altura delimitada pelas imagens de 3 e 4.

A
\log_{10} 2
B
\log_{10} 3
C
\log_{10} 4
D
\log_{10} 5
E
\log_{10} 6

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 46 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

— A curva da figura que se segue representa o gráfico da função y = \log_{10} x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos dois retângulos, é:

Gráfico da função y = log₁₀ x no plano cartesiano com dois retângulos hachurados: o primeiro no intervalo de x entre 2 e 3, com altura delimitada pelas imagens de 2 e 3; o segundo no intervalo de x entre 3 e 4, com altura delimitada pelas imagens de 3 e 4.

A
\log_{10} 2
B
\log_{10} 3
C
\log_{10} 4
D
\log_{10} 5
E
\log_{10} 6

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Cada retângulo tem base de largura 1 (de 2 a 3 e de 3 a 4). A altura de cada um é a diferença entre duas imagens da função, e essas alturas aparecem na figura pelas linhas tracejadas horizontais.

Primeiro retângulo (x de 2 a 3): base =1 e altura =\log_{10}3-\log_{10}2.
Segundo retângulo (x de 3 a 4): base =1 e altura =\log_{10}4-\log_{10}3.

A área total é a soma das duas áreas:

A=(\log_{10}3-\log_{10}2)+(\log_{10}4-\log_{10}3)

O termo \log_{10}3 aparece com sinais opostos e se cancela (soma telescópica):

A=\log_{10}4-\log_{10}2=\log_{10}\frac{4}{2}=\log_{10}2

Usamos a propriedade \log a-\log b=\log\dfrac{a}{b}.

A área hachurada vale \log_{10}2.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

BConsidera só o valor \log_{10}3, ignorando que as alturas são diferenças de logaritmos e que o termo \log_{10}3 se cancela.
CUsa apenas o último ponto, \log_{10}4, esquecendo de subtrair \log_{10}2.
DSoma os logaritmos de forma errada, sem relação com as alturas dos retângulos.
EMultiplica 2 e 3 (soma de \log_{10}2+\log_{10}3), usando as imagens em vez das diferenças.

Assuntos: Logaritmos e função logarítmica, Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗