Questão 47 (2º exame) da FUVEST 2000

Os três pontos são A(2,0), B(2,4) e C(0,4). Eles formam um triângulo retângulo em B, pois AB é vertical (x=2) e BC é horizontal (y=4).

Conceito: todo triângulo retângulo inscrito em uma circunferência tem a hipotenusa como diâmetro. Logo, o centro é o ponto médio da hipotenusa AC.

1. Ponto médio de AC:
   \left(\frac{2+0}{2},\ \frac{0+4}{2}\right) = (1, 2)
2. Conferindo: a distância do centro a B é \sqrt{(2-1)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}, e a A é \sqrt{(2-1)^2+(0-2)^2}=\sqrt{5}. O raio é o mesmo, então o centro está correto.
3. Distância do centro (1,2) à origem:
   d=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}

Atenção: \sqrt{5} também é o raio, mas aqui a distância à origem coincide com ele, e o resultado é o mesmo.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AValor sem relação com o centro (1,2); \sqrt{2} viria de um centro como (1,1).
• B\sqrt{3} não resulta de 1^2+2^2=5; erro de conta.
• C\sqrt{4}=2 ignora uma das coordenadas do centro, como usar só y=2.
• E\sqrt{6} viria de somar 1+2+3 ou de um centro incorreto; o correto dá 1+4=5.

Assunto: Circunferência: ângulos, cordas e tangência.

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