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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 45 (2º exame) da FUVEST 2000

2º exame · Matemática: Inequações e desigualdades

– Os gráficos de duas funções polinomiais P e Q estão representados na figura seguinte.

Gráfico no plano cartesiano das funções polinomiais P e Q no intervalo de x entre -4 e 8. A curva da função Q intercepta o eixo horizontal em x = -2 e x = 4. A curva da função P intercepta o eixo horizontal em x = 2. As duas curvas se intersectam nos pontos correspondentes a x = -1 e x = 5.

Então, no intervalo [-4, 8], P(x) Q(x) < 0 para:

  1. A
    -2 < x < 4
  2. B
    -2 < x < -1 ou 5 < x < 8
  3. C
    -4 \le x < -2 ou 2 < x < 4
  4. D
    -4 \le x < -2 ou 5 < x \le 8
  5. E
    -1 < x < 5
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Resolução comentada

Um produto de dois números é negativo quando eles têm sinais contrários. Então precisamos comparar o sinal de P e o de Q em cada trecho, lendo o gráfico.

Q é a curva que corta o eixo em x=-2 e x=4. P é a que corta o eixo só em x=2. P fica positiva antes de x=2 e negativa depois (ela passa abaixo do eixo e só sobe de novo perto de x=8, mas continua negativa).

  1. Em -4 \le x < -2: P>0 e Q<0, então PQ<0. ✔
  2. Em -2 < x < 2: P>0 e Q>0, então PQ>0.
  3. Em 2 < x < 4: P<0 e Q>0, então PQ<0. ✔
  4. Em 4 < x \le 8: P<0 e Q<0, então PQ>0.

Os pontos de interseção das curvas (x=-1 e x=5) não importam aqui, pois o que conta é o sinal de cada função, e não a comparação entre elas.

Logo, PQ<0 para -4 \le x < -2 ou 2 < x < 4.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa B engana por usar as interseções das curvas, mas o sinal do produto depende dos zeros de P e de Q.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConsidera só o intervalo em que Q é positiva, ignorando o sinal de P.
  • BUsa os pontos de interseção das curvas (x = -1 e x = 5), que não determinam o sinal do produto.
  • DInclui 5<x\le 8, onde P e Q são ambas negativas e o produto é positivo.
  • ECompara quem está acima de quem (P e Q), em vez de analisar os sinais.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Leitura e interpretação de gráficos.

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Ver como caiu na prova Questão 45 no caderno T da FUVEST 2000

Fonte: FUVEST 2000 · 2º exame. Prova oficial ↗