Questão 59 (2º exame) da FUVEST 1998

Um número complexo z = a + bi é representado pelo ponto (a, b) do plano. Se o argumento é \pi/4 (45°), o ponto está na reta y = x, no 1º quadrante, ou seja, a = b > 0.

Agora o ponto também deve estar sobre a parábola y = x^2.

1. Condição do argumento: b = a, com a > 0.
2. Condição da parábola: b = a^2.
3. Igualando: a = a^2, logo a(a - 1) = 0, então a = 0 ou a = 1.
4. Como z não é nulo, a = 1 e b = 1.

Assim, z = 1 + i. Conferindo: |z| = \sqrt{2}, \cos\theta = \sin\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}}, então \theta = \pi/4, e o ponto (1,1) satisfaz 1 = 1^2.

Alternativa A.

Pegadinha: As alternativas C, D e E estão na parábola y=x^2, mas não têm argumento \pi/4; quem testa só a parábola cai nelas.

Por que as outras alternativas estão erradas

• B1 - i tem argumento -\pi/4 (4º quadrante) e o ponto (1,-1) não está em y=x^2.
• C-1 + i está na parábola (1 = (-1)^2), mas tem argumento 3\pi/4.
• D\sqrt{2} + 2i tem a \neq b, então o argumento não é \pi/4; embora esteja na parábola (2 = (\sqrt{2})^2).
• E-\sqrt{2} + 2i está na parábola, mas está no 2º quadrante, com argumento diferente de \pi/4.

Assuntos: Números complexos, Função quadrática.

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