Questão 60 (2º exame) da FUVEST 1998

Os pontos comuns aparecem onde f(x)=g(x), ou seja, onde as duas funções dão o mesmo valor para o mesmo x.

Igualando:

Agora é preciso saber se essa equação tem raiz real. Em vez de resolver o grau 4, compare os valores mínimos das funções.

1. f(x)=x^4+3\ge 3 para todo x, pois x^4\ge 0. Seu menor valor é 3.
2. g(x)=-x^2+2x é uma parábola com concavidade para baixo. Seu valor máximo está no vértice, em x_v=\frac{-2}{2(-1)}=1, e vale g(1)=-1+2=1.

Assim, g(x)\le 1 para todo x, enquanto f(x)\ge 3 para todo x. Logo f(x)>g(x) sempre, com diferença de pelo menos 2.

Os gráficos nunca se encontram, então a equação não tem solução real e o número de pontos comuns é 0.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ASupõe que a equação de grau 4 tenha 4 raízes reais, mas o grau só limita o máximo de raízes.
• BChuta um número de raízes sem verificar que f está sempre acima de g.
• CImagina que a parábola corta a curva em dois pontos, mas o máximo de g é 1 e o mínimo de f é 3.
• DAdmite um ponto de tangência, que exigiria f e g com o mesmo valor, impossível já que 3>1.

Assuntos: Equações polinomiais e relações de Girard, Conceito de função, composta e inversa.

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