Questão 57 (2º exame) da FUVEST 1998

O quadrado tem os vértices C e D no eixo horizontal e A e B sobre o arco. Como o centro da semicircunferência é a origem, o quadrado é simétrico em relação ao eixo y. Então A tem coordenadas (x, y) e D tem coordenadas (x, 0).

O lado do quadrado é AD = y. Esse lado também é AB = 2x, pois B é o simétrico de A. Logo y = 2x.

1. Raio da semicircunferência: r^2 = x^2 + y^2 = x^2 + 4x^2 = 5x^2.

2. Área da semicircunferência:

   \frac{\pi r^2}{2} = \frac{5\pi x^2}{2}

3. Área do quadrado:

   y^2 = (2x)^2 = 4x^2

4. Área pedida, exterior ao quadrado e interior à semicircunferência:

   \frac{5\pi x^2}{2} - 4x^2 = \left(\frac{5\pi}{2} - 4\right)x^2

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• Bx^2+y^2 é o quadrado do raio, não uma área da região pedida.
• CUsa a área do círculo inteiro (5\pi x^2) em vez da semicircunferência.
• DSubtrai 2x^2, que não é a área do quadrado, a qual vale 4x^2.
• EUsa \pi x^2 como área do semicírculo e y^2 para o quadrado, mas \pi x^2 não é a área da semicircunferência, pois o raio não é x.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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