Questão 56 (2º exame) da FUVEST 1998

Question

Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então

Plano cartesiano com eixos graduados de 1 a 5, contendo um quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5) e uma circunferência inscrita tangenciando os pontos médios de seus quatro lados.

A
0 < m < \frac{1}{3}
B
m = \frac{1}{3}
C
\frac{1}{3} < m < 1
D
m = 1
E
1 < m < \frac{5}{3}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 56 (2º exame) da FUVEST 1998

2º exame · Matemática: Ponto e reta no plano cartesiano

Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2,0) e é tangente à circunferência inscrita no quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5). Então

Plano cartesiano com eixos graduados de 1 a 5, contendo um quadrado de vértices (1,1), (5,1), (5,5) e (1,5) e uma circunferência inscrita tangenciando os pontos médios de seus quatro lados.

A
0 < m < \frac{1}{3}
B
m = \frac{1}{3}
C
\frac{1}{3} < m < 1
D
m = 1
E
1 < m < \frac{5}{3}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

Reportar erro na questão

Resolução comentada

A circunferência inscrita no quadrado de lado 4 tem centro no centro do quadrado, (3,3), e raio r=2.

A reta tem coeficiente angular m e passa por (2,0):

y-0=m(x-2)\ \Rightarrow\ mx-y-2m=0

Para ser tangente, a distância do centro à reta deve ser igual ao raio:

Distância:
d=\frac{|3m-3-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{|m-3|}{\sqrt{m^2+1}}
Igualando a 2: |m-3|=2\sqrt{m^2+1}.
Elevando ao quadrado: m^2-6m+9=4m^2+4.
Simplificando: 3m^2+6m-5=0.
Resolvendo:
m=\frac{-6\pm\sqrt{36+60}}{6}=\frac{-6\pm\sqrt{96}}{6}=\frac{-3\pm2\sqrt6}{3}

Como m>0: m=\dfrac{-3+2\sqrt6}{3}.

Como \sqrt6\approx2{,}449, temos 2\sqrt6\approx4{,}899, logo m\approx\dfrac{1{,}899}{3}\approx0{,}633.

Assim, \frac13<m<1.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AO valor encontrado, cerca de 0,63, é maior que 1/3.
B1/3 não satisfaz 3m²+6m−5=0 (daria 1/3+2−5≠0).
Dm=1 daria distância 2/√2=√2, diferente do raio 2.
EO valor de m é menor que 1, não maior.

Assuntos: Ponto e reta no plano cartesiano, Equação da circunferência.

Reportar erro na resolução

Ver como caiu na prova

Fonte: FUVEST 1998 · 2º exame. Prova oficial ↗