Questão 55 (2º exame) da FUVEST 1998

Seja r a razão da P.A. a_n. Como ela é estritamente crescente, r>0, e vale a_{n+1}=a_n+r.

Uma sequência é P.G. quando a razão entre termos consecutivos é constante. Vamos calcular essa razão para b_n=3^{a_n}:

1. \dfrac{b_{n+1}}{b_n}=\dfrac{3^{a_{n+1}}}{3^{a_n}}
2. Pela propriedade das potências de mesma base, 3^{a_{n+1}-a_n}
3. Como a_{n+1}-a_n=r, a razão fica 3^{r}, que não depende de n.

Logo b_n é uma P.G. de razão q=3^r.

Para saber se é crescente ou decrescente, veja o valor de q: como r>0 e a base 3>1, temos 3^r>3^0=1. Além disso, os termos b_n=3^{a_n} são positivos. Uma P.G. de termos positivos com razão q>1 é crescente.

Exemplo: a_n=1,2,3,\dots dá b_n=3,9,27,\dots, uma P.G. crescente de razão 3.

A sequência não é P.A., pois a diferença b_{n+1}-b_n=3^{a_n}(3^r-1) varia com n.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

• BA diferença entre termos consecutivos, 3^{a_n}(3^r-1), não é constante, então não é P.A.
• CÉ P.G., mas a razão 3^r é maior que 1 (pois r>0), então é crescente, não decrescente.
• DNão é P.A. e também não é decrescente.
• EA razão 3^{r} é constante, então é sim uma P.G.

Assuntos: Progressão geométrica, Progressão aritmética.

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