Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2018

Question

Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.

a) Num tetraedro OABC, os ângulos A\hat{O}B, B\hat{O}C e C\hat{O}A medem 90^\circ. Sendo \alpha e \beta as medidas dos ângulos A\hat{C}O e B\hat{C}O, respectivamente, expresse o cosseno do ângulo A\hat{C}B em função de \alpha e \beta.

Tetraedro OABC com o vértice interno O de onde partem arestas tracejadas perpendiculares entre si até os vértices A, B e C

b) Um navio parte do ponto de latitude 0^\circ e longitude 0^\circ e navega até chegar a um ponto de latitude 45^\circ sul e longitude 45^\circ oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000\text{ km}. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

Representação esférica da Terra com paralelos de latitude e meridianos de longitude a Oeste e Leste de Greenwich

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão M05 da 2ª fase da FUVEST 2018

3º dia · Matemática: Lei dos senos e lei dos cossenos

Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.

a) Num tetraedro OABC, os ângulos A\hat{O}B, B\hat{O}C e C\hat{O}A medem 90^\circ. Sendo \alpha e \beta as medidas dos ângulos A\hat{C}O e B\hat{C}O, respectivamente, expresse o cosseno do ângulo A\hat{C}B em função de \alpha e \beta.

Tetraedro OABC com o vértice interno O de onde partem arestas tracejadas perpendiculares entre si até os vértices A, B e C

b) Um navio parte do ponto de latitude 0^\circ e longitude 0^\circ e navega até chegar a um ponto de latitude 45^\circ sul e longitude 45^\circ oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio R = 6000\text{ km}. Qual foi a distância percorrida pelo navio?

Representação esférica da Terra com paralelos de latitude e meridianos de longitude a Oeste e Leste de Greenwich

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Resolução comentada

a) Chame OC = c. Os triângulos AOC e BOC são retângulos em O, pois os ângulos em O medem 90^\circ.

No triângulo AOC, o ângulo em C mede \alpha. Então:

CA = \frac{c}{\cos\alpha},\qquad OA = c\,\tg\alpha

No triângulo BOC, o ângulo em C mede \beta. Então:

CB = \frac{c}{\cos\beta},\qquad OB = c\,\tg\beta

Como A\hat{O}B = 90^\circ, o teorema de Pitágoras no triângulo AOB dá:

AB^2 = OA^2+OB^2 = c^2(\tg^2\alpha+\tg^2\beta)

Agora aplicamos a lei dos cossenos no triângulo ACB:

\cos A\hat{C}B = \frac{CA^2+CB^2-AB^2}{2\,CA\cdot CB}

Usando \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tg^2 x, o numerador fica:

c^2(1+\tg^2\alpha)+c^2(1+\tg^2\beta)-c^2(\tg^2\alpha+\tg^2\beta)=2c^2

O denominador é 2\cdot\dfrac{c^2}{\cos\alpha\cos\beta}. Portanto:

\cos A\hat{C}B=\cos\alpha\cdot\cos\beta

\cos A\hat{C}B = \cos\alpha\cos\beta

b) A trajetória de menor distância sobre a esfera é o arco de círculo máximo que liga os dois pontos. Basta achar o ângulo central \theta entre eles e calcular R\theta.

Placemos a origem no centro da Terra, com eixo x no ponto (0^\circ,0^\circ), eixo y para leste e eixo z para o norte. Para um ponto de latitude \varphi e longitude \lambda, com raio unitário:

(\cos\varphi\cos\lambda,\ \cos\varphi\,\sen\lambda,\ \sen\varphi)

Ponto de partida: P=(1,0,0).
Ponto de chegada, com \varphi=-45^\circ e \lambda=-45^\circ: Q=\left(\tfrac12,-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt2}{2}\right).
Produto escalar: \cos\theta = P\cdot Q=\tfrac12, logo \theta=60^\circ=\dfrac{\pi}{3}.

Esse resultado é coerente com o item a): \cos 45^\circ\cdot\cos45^\circ=\tfrac12.

A distância percorrida é:

d=R\theta=6000\cdot\frac{\pi}{3}=2000\pi\ \text{km}\approx 6\,280\ \text{km}

d = 2000\pi\ \text{km} \approx 6\,280\ \text{km}

Assuntos: Lei dos senos e lei dos cossenos, Geometria espacial de posição, Esfera.

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Questão M05 no caderno da 2ª fase da FUVEST 2018