Questão M06 da 2ª fase da FUVEST 2018
Considere a função real definida por f(x) = \sqrt{x - \frac{1}{x}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}} - x.
a) Qual é o domínio de f?
b) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) f(x) = 0.
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Resolução comentada
a) Para f existir, precisamos de x\neq 0 e de radicandos não negativos:
- 1-\frac{1}{x}\ge 0 \iff \frac{x-1}{x}\ge 0 \iff x<0 ou x\ge 1.
- x-\frac{1}{x}\ge 0 \iff \frac{x^2-1}{x}\ge 0 \iff -1\le x<0 ou x\ge 1.
A interseção das duas condições é [-1,0)\cup[1,+\infty).
Domínio: D=[-1,0)\cup[1,+\infty).
b) Queremos \sqrt{x-\frac1x}+\sqrt{1-\frac1x}=x.
Se x\in[-1,0), o lado esquerdo é \ge 0 e o direito é negativo, então não há solução. Logo x\ge 1.
Chame a=\sqrt{x-\frac1x} e b=\sqrt{1-\frac1x}, com 0\le b<1. A equação vira a+b=x.
Como a^2-b^2=x-1, temos (a-b)(a+b)=x-1. Com a+b=x, isso dá a-b=\frac{x-1}{x}=1-\frac1x=b^2. Então a=b+b^2.
Substituindo em a+b=x, obtemos x=2b+b^2. Por outro lado, b^2=1-\frac1x dá x=\frac{1}{1-b^2}. Igualando:
Esse polinômio é um quadrado perfeito: (b^2+b-1)^2=0. Logo b^2+b-1=0, e com b\ge 0 resulta b=\frac{\sqrt5-1}{2}.
Então x=2b+b^2=b+(b+b^2)=b+1=\frac{1+\sqrt5}{2}.
Verificação: para x=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx1{,}618, \frac1x\approx0{,}618. Então x-\frac1x=1, com raiz 1, e 1-\frac1x\approx0{,}382, com raiz \approx0{,}618. A soma é 1{,}618=x, como esperado.
x=\dfrac{1+\sqrt5}{2} (única solução).
Assuntos: domínio de funções, equações irracionais.
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