PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão M08 da 2ª fase da FUVEST 2008
Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura.
A corda é então enrolada ao longo das faces ① e ②, mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face ② em pontos R e B, conforme a figura.
Nessas condições,
a) calcule PR.
b) calcule AB.
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Resolução comentada
a) Desenrole as faces ① e ② num mesmo plano. Com a corda esticada, ela vira um segmento reto de P até A, de comprimento 5. Ponha P a 1 da aresta que separa ① de ②. Essa aresta vertical passa por R. A outra aresta da face ②, que passa por B, fica a 2 de distância da primeira, porque o lado da base é 2.
Como P está a altura 3 e A está no solo (altura 0), a diferença de altura é 3. Pelo teorema de Pitágoras, a distância horizontal entre P e A no plano desenrolado é:
O segmento PA desce 3 ao avançar 4 na horizontal. Isso dá inclinação \tfrac{3}{4}, ou seja, para cada unidade horizontal a corda desce \tfrac{3}{4}.
Até a aresta de R a corda avança 1 na horizontal. Pelos triângulos semelhantes (razão 1/4 em relação ao triângulo 3-4-5):
PR=\dfrac{5}{4}
b) Os pontos P, R, B e A estão alinhados no plano desenrolado. Medindo a partir de P, a posição horizontal de cada ponto é: R em 1, B em 1+2=3 e A em 4.
O trecho BA cobre a horizontal de 3 a 4, isto é, 1 unidade. Como cada unidade horizontal corresponde a \tfrac{5}{4} de corda, AB=\tfrac{5}{4}.
Conferência: PR=\tfrac54, RB=2\cdot\tfrac54=\tfrac52 e BA=\tfrac54. A soma é \tfrac54+\tfrac{10}{4}+\tfrac54=5, o comprimento da corda.
AB=\dfrac{5}{4}
Assuntos: Vistas, projeções e planificações, Teorema de Pitágoras e relações métricas.
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